Question

8．如圖所示，在x軸上方有垂直于xOy平面向外的足夠大勻強(qiáng)磁場（圖中沒有畫出該磁場），一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子，在P點(diǎn)以速率v沿與x軸成某一角度射入磁場，然后粒子從Q點(diǎn)離開磁場，P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于y軸對稱且相距為2a，其中a=$\frac{mv}{2Bq}$（B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，大小未知，不計(jì)粒子重力的影響）．
（1）求粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間；
（2）若勻強(qiáng)磁場只在x軸上方某一區(qū)域內(nèi)存在，且磁場邊界為圓形，改變粒子的入射方向，使粒子進(jìn)入磁場位置的橫坐標(biāo)x=-$\frac{a}{2}$，其中a=$\frac{mv}{B'q}$（B′為磁感應(yīng)強(qiáng)度，大小未知，不計(jì)粒子重力的影響），還能保證粒子經(jīng)過Q點(diǎn)，求粒子進(jìn)入磁場位置的縱坐標(biāo)及該圓形磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$以及T=$\frac{2πr}{v}$求解半徑和周期，根據(jù)幾何知識(shí)知圓心角，從而知運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）由題意可知：粒子進(jìn)入磁場前先做一段直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后，在洛侖茲力作用下，做一段圓弧運(yùn)動(dòng)，而后離開磁場區(qū)域，再做一段直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)Q點(diǎn)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)求解．

解答 解（1）粒子進(jìn)入磁場在洛倫茲力作用下，做部分圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過PQ兩點(diǎn)的圓弧既可以是優(yōu)弧也可以是劣弧，則有：
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：r=$\frac{mv}{qB}$=2a
圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{4πa}{v}$
劣弧對應(yīng)的圓心角為θ：sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{a}{r}$=$\frac{1}{2}$ 得 $θ=\frac{π}{3}$
優(yōu)弧對應(yīng)的圓心角θ′：θ′=2π-θ=$\frac{5π}{3}$
粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{2πa}{3v}$ 或 t=$\frac{θ′}{2π}T$=$\frac{10πa}{3v}$
（2）由題意可知：粒子進(jìn)入磁場前先做一段直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后，在洛侖茲力作用下，做一段圓弧運(yùn)動(dòng)，而后離開磁場區(qū)域，再做一段直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)Q點(diǎn)，如圖所示．設(shè)進(jìn)入磁場點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），離子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r′．
由B′qv=$\frac{m{v}^{2}}{r′}$  得r′=a
由幾何關(guān)系得：r′²=x²+（r′cosα）²
tanα=$\frac{y}{a-x}$
x=$\frac{a}{2}$
解得：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$
當(dāng)磁場邊界圓的直徑為進(jìn)出磁場點(diǎn)之間的線段時(shí)，磁場面積最小對應(yīng)的半徑最�。�由對稱性可知磁場最小半徑$\frac{a}{2}$．
最小面積為s=πr²=$\frac{1}{4}π{a}^{2}$
答：（1）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{10πa}{3v}$；
（2）若勻強(qiáng)磁場只在x軸上方某一區(qū)域內(nèi)存在，且磁場邊界為圓形，改變粒子的入射方向，使粒子進(jìn)入磁場位置的橫坐標(biāo)x=-$\frac{a}{2}$，其中a=$\frac{mv}{B'q}$（B′為磁感應(yīng)強(qiáng)度，大小未知，不計(jì)粒子重力的影響），還能保證粒子經(jīng)過Q點(diǎn)，粒子進(jìn)入磁場位置的縱坐標(biāo)y=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，該圓形磁場區(qū)域的最小面積為$\frac{1}{4}π{a}^{2}$．

點(diǎn)評 以帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)為命題背景，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力，關(guān)鍵是會(huì)根據(jù)qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$以及T=$\frac{2πr}{v}$求解半徑和周期，并畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，熟練應(yīng)用幾何知識(shí)求解．