如圖所示,光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道,在離B距離為x的A點(diǎn),用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力,質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn):
(1)求推力對(duì)小球所做的功.
(2)x取何值時(shí),完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少?最小功為多少.
(3)x取何值時(shí),完成上述運(yùn)動(dòng)用力最。孔钚×槎嗌伲

【答案】分析:(1)小球在恒定推力作用下,在光滑水平面做勻加速直線,當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)撤去恒力,讓其在沿光滑半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后,又正好落回A點(diǎn).因小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng),已知高度與水平位移的情況下,可求出小球在C處的速度大小,選取從A到C過程,由動(dòng)能定理可求出推力對(duì)小球所做的功.
(2)力F做功越小,小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小,到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小,當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí),由重力充當(dāng)向心力,此時(shí)C點(diǎn)的速度最小,力F做功最。扔膳nD第二定律求出小球通過C點(diǎn)的最小速度,根據(jù)(1)問的結(jié)果求出x,即可得到最小功;
(3)根據(jù)功與x的關(guān)系式,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解力最小時(shí)x的值及最小的力.
解答:解:(1)由題意,質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn),設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為vC,質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t,則
在水平方向:x=vCt     ①
豎直方向上:2R=gt2
解①②有   vC=  ③
對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C,由動(dòng)能定理有
  WF-mg?2R=m  ④
解得  WF=     ⑤
(2)要使F力做功最少,確定x的取值,由④式得 WF=mg?2R+m,則知,只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小,則功WF就最。
若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過C點(diǎn),其在C點(diǎn)最小速度為v,
由牛頓第二定律有
  mg=,則  v=  ⑥
由③⑥有=,解得x=2R時(shí),WF最小,最小的功WF=mg?2R+m=mgR.                       
(3)由⑤式WF=mg(),W=Fx
則得  F=mg()                                                      
>0,x>0,
由極值不等式有
當(dāng)=時(shí),即x=4R時(shí),+=8,最小的力F=mg.                       
答:(1)推力對(duì)小球所做的功是
(2)x等于2R時(shí),完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少,最小功為mgR.
(3)x取4R時(shí),完成上述運(yùn)動(dòng)用力最小,最小力為mg.
點(diǎn)評(píng):本題要挖掘隱含的臨界條件:小球通過C點(diǎn)的最小速度為,由動(dòng)能定理求解F做功,再運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式知識(shí)求解極值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖所示,光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相接,導(dǎo)軌半徑為R.一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放,在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧,脫離彈簧后當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對(duì)導(dǎo)軌的壓力為其重力的7倍,之后向上運(yùn)動(dòng)完成半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)C點(diǎn).試求:
(1)彈簧開始時(shí)的彈性勢(shì)能;
(2)物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功;
(3)物體離開C點(diǎn)后落回水平面時(shí)的速度大小和方向.

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如圖所示,光滑水平面與一半徑為R處在豎平面內(nèi)的光滑圓軌道相切,質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)進(jìn)入圓軌道,在圖中虛線位置脫離軌道,重力加速度為g,下述說法正確的是(  )

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如圖所示,光滑水平面MN左端擋板處有一彈射裝置P,右端N與處于同一高度的水平傳送帶之間的距離可忽略,水平部分NQ的長(zhǎng)度L=8m,皮帶輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)傳送帶以v=2m/s的速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng).MN上放置兩個(gè)質(zhì)量都為m=1.0kg的小物塊A、B,它們與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.4.開始時(shí),A、B靜止,A、B間壓縮一輕質(zhì)彈簧,其彈性勢(shì)能EP=16J.現(xiàn)解除鎖定,彈開A、B,并迅速移走彈簧.
(1)求物塊B被彈開時(shí)速度的大小;
(2)A與P相碰后靜止,當(dāng)物塊B返回水平面MN后,A被P彈出,A、B相碰后粘在一起向右滑動(dòng),要使A、B連接體剛好從Q端滑出,求P對(duì)A做的功.

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(2013?如東縣模擬)如圖所示,光滑水平面AB與豎直面內(nèi)粗糙的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)銜接,BC為導(dǎo)軌的直徑,與水平面垂直,導(dǎo)軌半徑為R,一個(gè)質(zhì)量為m的小球?qū)椈蓧嚎s至A處.小球從A處由靜止釋放被彈開后,以速度v經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入半圓形軌道,之后向上運(yùn)動(dòng)恰能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),求:
(1)釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能;
(2)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度和落到水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離;
(3)小球在由B到C過程中克服阻力做的功.

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如圖所示,光滑水平面內(nèi),一根細(xì)繩一端固定,另一端系一小球,現(xiàn)讓小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則( 。

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