Question

8．如圖所示，平面坐標系Oxy中，在y＞0的區(qū)域存在沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E，在-h＜y＜0的區(qū)域Ⅰ中存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在y＜-h的區(qū)域Ⅱ中存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為2B．A是y軸上的一點，C是x軸上的一點．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子以某一初速度沿x軸正方向從A點進入電場區(qū)域，繼而通過C點以速度方向與x軸夾角為φ=30°進入磁場區(qū)域Ⅰ，并以垂直邊界y=-h的速度進入磁場區(qū)域Ⅱ．粒子重力不計．試求：
（1）粒子經(jīng)過C點時的速度大小v；
（2）A、C兩點與O點間的距離y₀、x₀；
（3）粒子從A點出發(fā)，經(jīng)過多長時間可回到y(tǒng)=y₀處？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場Ⅰ中做勻速圓周運動，由幾何知識知，軌跡對應的圓心角為60°，根據(jù)幾何關(guān)系求得軌跡半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求速度大�。�
（2）粒子在電場中做類平拋運動，運用運動的分解，由牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合可求得A、C兩點與O點間的距離y₀、x₀；
（3）分段求時間，磁場中找出軌跡對應的圓心角θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求粒子第一次返回y=y₀處前運動的總時間T，根據(jù)周期性，粒子返回y=y₀處前運動的總時間為t=nT

解答 解：（1）由題可知，粒子在磁場Ⅰ中做勻速圓周運動的圓心角θ=60°，相應的半徑為
${r_1}=\frac{h}{sin60°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$
由$qvB=m\frac{v^2}{r_1}$，得
$v=\frac{{2\sqrt{3}qBh}}{3m}$
（2）粒子在電場中做類平拋運動，有
x₀=vcos30°•t₀
${y_0}=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t_0}^2$
又$vsin30°=\frac{Eq}{m}•{t_0}$
解得，${t_0}=\frac{{\sqrt{3}Bh}}{3E}$，${x_0}=\frac{{\sqrt{3}{B^2}{h^2}q}}{3mE}$，${y_0}=\frac{{{B^2}{h^2}q}}{6mE}$；
（3）根據(jù)運動的對稱性可知，第一次返回y=y₀處前在磁場Ⅰ中運動的總時間為${t_1}=\frac{2π}{3}•\frac{m}{qB}$
在磁場Ⅱ中運動的總時間為${t_2}=\frac{π}{2}•\frac{m}{qB}$
故第一次返回y=y₀處前運動的總時間為$T=2{t_0}+{t_1}+{t_2}=\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}$
之后運動呈周期性，故返回y=y₀處前運動的總時間為$t=nT=n（\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}），n∈N$
答：（1）粒子經(jīng)過C點時的速度大小為$\frac{2\sqrt{3}qBh}{3m}$；
（2）A、C兩點與O點間的距離y₀、x₀分別為$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{h}^{2}q}{3mE}$，$\frac{{B}^{2}{h}^{2}q}{6mE}$；
（3）粒子從A點出發(fā)，經(jīng)過$t=nT=n（\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}），n∈N$可回到y(tǒng)=y₀處．

點評 本題考查帶電粒子在電磁場中的運動，注意在磁場中的運動要注意幾何關(guān)系的應用，在電場中注意由類平拋運動的規(guī)律求解．