Question

1．如圖（甲）所示，兩足夠長(zhǎng)的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN，PQ相距為L(zhǎng)=1m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α=37°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的金屬桿ab垂直于MN，PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬桿的質(zhì)量為m₁=2kg、電阻為R₁=3Ω．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右側(cè)電路，電路中通過(guò)導(dǎo)線接一對(duì)水平放置的平行金屬板，兩板間距離和板長(zhǎng)均為d=1m，定值電阻為R₂=1Ω．現(xiàn)閉合開(kāi)關(guān)S并將金屬桿由靜止釋放，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求金屬桿沿導(dǎo)軌下滑的最大速率vm；
（2）當(dāng)金屬桿穩(wěn)定下滑時(shí)，在水平放置的平行金屬板間加一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂=3T，在下板的右端C點(diǎn)且非�？拷�下板的位置有一質(zhì)量為m₂=6×10^-5kg、帶電量為q=-1×10^-4C的液滴以初速度v水平向左射入磁場(chǎng)，該液滴可視為質(zhì)點(diǎn)，要使帶電液滴能從金屬板間射出，則初速度v滿足什么條件？
（3）若帶電液滴射入的速度恰好使液滴從D點(diǎn)飛出，液滴從C點(diǎn)射入時(shí)，再?gòu)脑摯艌?chǎng)區(qū)域加一個(gè)如圖（乙）所示的變化磁場(chǎng)（正方向與B₂方向相同，不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生的電場(chǎng)），求該帶電液滴從C點(diǎn)射入到運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出安培力，由平衡條件求出金屬桿的最大速度．
（2）根據(jù)液滴的受力情況判斷液滴的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，然后由數(shù)學(xué)知識(shí)求出液滴射出時(shí)的軌道半徑，由牛頓第二定律求出液滴的速度，然后確定其范圍．
（3）根據(jù)液滴做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式分析與所加磁場(chǎng)分析液滴的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后求出液滴的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）當(dāng)金屬桿勻速下滑時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v_m，
由平衡條件得：m₁gsina=F_安，
安培力：F_安=B₁IL，
電流：$I=\frac{{{B_1}I{v_m}}}{{{R_1}+{R_2}}}$，
則：${m_1}gsina=\frac{{B_1^2{L^2}{v_m}}}{{{R_1}+{R_2}}}$，
解得：v_m=12m/s；
（2）金屬桿穩(wěn)定下滑時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv=24V，
兩板間電壓U=IR₂=6V，
對(duì)液滴，m₂g=q$\frac{U}scdruy2$，
所以該液滴在兩平行金屬板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qvB=m₂$\frac{{v}^{2}}{r}$，
則液滴的軌道半徑r=$\frac{{m}_{2}v}{q{B}_{2}}$，
當(dāng)液滴恰從上板左端邊緣射出時(shí)：r₁²=（r-d）²+d²，
解得，軌道半徑：r₁=1m，
${r_1}=d=\frac{{{m_2}{v_1}}}{{{B_2}q}}$，
解得：v₁=5m/s；
當(dāng)液滴恰從上板右側(cè)邊緣射出時(shí)：r₂=$\fractkbbkcj{2}$=0.5m，
r₂=$\fracsqhplas{2}$=$\frac{{m}_{2}{v}_{2}}{q{B}_{2}}$，
解得，v₂=2.5m/s，
初速度v應(yīng)滿足的條件是：v＜2.5m/s或 v＞5m/s；
（3）當(dāng)速度v=2.5m/s時(shí)，液滴從D點(diǎn)飛出，
在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)周期：${T_1}=\frac{{2π{m_2}}}{{{B_2}q}}=4π×{10^{-1}}s$，
液滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第一次遇到外加磁場(chǎng)前的過(guò)程中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角：${θ_1}=\frac{{\frac{π}{2}×{{10}^{-1}}}}{{4π×{{10}^{-1}}}}×2π=\frac{π}{4}$，
施加附加磁場(chǎng)后，液滴在磁場(chǎng)中做的圓周運(yùn)動(dòng)半徑將變小，周期T₂為：${T_2}=\frac{{2π{m_2}}}{{q（{B_2}+B）}}=\frac{π}{2}×{10^{-1}}s$，
即離子剛好能運(yùn)動(dòng)一個(gè)完整的圓周，接下來(lái)在B₂磁場(chǎng)中繼續(xù)偏轉(zhuǎn)，
對(duì)照外加磁場(chǎng)的規(guī)律可知，每隔$\frac{π}{2}×{10^{-1}}s$液滴在周期性外加磁場(chǎng)時(shí)，
離子可做3次完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后還經(jīng)過(guò)D點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，如圖所示．
離子從C點(diǎn)射入磁場(chǎng)到D點(diǎn)的總時(shí)間t為$t=\frac{1}{2}{T_1}+3{T_2}$，
解得：$t=\frac{7π}{2}×{10^{-1}}s$；
答：（1）金屬桿沿導(dǎo)軌下滑的最大速率v_m=12m/s；
（2）要使帶電液滴能從金屬板間射出，初速度v滿足的條件是：v＜2.5m/s或 v＞5m/s；
（3）該帶電液滴從C點(diǎn)射入到運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間：$t=\frac{7π}{2}×{10^{-1}}s$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)、液滴在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，本題液滴運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜、分析清楚液滴的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用平衡條件、安培力公式、牛頓第二定律即可正確解題，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．