Question

17．在紙平面上有一長(zhǎng)為h的光滑絕緣空心細(xì)管MN，管的M端內(nèi)有一帶正電的小球P₁，在紙平面上N端的正右前方2h處有一個(gè)不帶電的小球P₂，開始時(shí)P₁相對(duì)管靜止，管水平速度v₁，小球P₂在紙平面上沿著以于MN延長(zhǎng)線方向成45°角的速度v₂運(yùn)動(dòng)．設(shè)管的質(zhì)量遠(yuǎn)大于P₁的質(zhì)量，P₁在管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)對(duì)管的運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略（不計(jì)兩小球的重力）．已知P₁離開N端時(shí)相對(duì)紙面的速度大小恰好為$\sqrt{2}$v₁，且在離開管后最終能與P₂相碰，空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于紙面向里．試求：
（1）P₁的比荷
（2）v₁和v₂的比值．

Answer 1

分析 （1）小球P₁在管中水平向右運(yùn)動(dòng)，受到指向N的洛倫茲力作用而做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)小球離開N端時(shí)的速度大小，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可以求出沿MN方向的分速度，從而求出小球的加速度，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到比荷的大��；
（2）P₁離開管口后洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)已知條件求出P₁做圓運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，同時(shí)求得P₂所在的位置，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性及相遇條件求解即可．

解答 解：（1）F₁為P₁參與的運(yùn)動(dòng)而受到指向N端的洛倫茲力，
其值為：F₁=qu₁B（其中q＞0，為P₁的電量），
P₁對(duì)應(yīng)有指向N端的加速度：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{q{v}_{1}B}{m}$ （其中m為P₁的質(zhì)量），
P₁在管中運(yùn)動(dòng)會(huì)使它受到另一個(gè)向左的洛倫茲力，此力與管壁對(duì)P₁向右的力所抵消，
P₁到達(dá)N端時(shí)具有沿管長(zhǎng)方向的速度：u=$\sqrt{2ah}$=$\sqrt{2{v}_{1}Bh\frac{q}{m}}$
所以，P₁對(duì)紙平面的速度大小為v=$\sqrt{{u}^{2}+{v}_{1}^{2}}$，又因?yàn)関=$\sqrt{2}$v₁，所以u(píng)=v₁，
即：2v₁Bh$\frac{q}{m}$=v₁²，所以P₁的比荷為：$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{1}}{2Bh}$；
（2）P₁從M端到N端經(jīng)歷的時(shí)間為：
t₁=$\sqrt{\frac{2h}{a}}$=$\sqrt{\frac{2hm}{q{v}_{1}B}}$=$\frac{2h}{{v}_{1}}$，
P₁離開管后在紙平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑與周期分別為：
R=$\frac{mv}{qB}$=2$\sqrt{2}$h，T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πh}{{v}_{1}}$，
P₁經(jīng)t₁時(shí)間已隨管朝正右方向運(yùn)動(dòng)：s₁=v₁t₁=2h，
所以P₁離開N端的位置恰好為P₂的初始位置，而P₂經(jīng)時(shí)間t₁已運(yùn)動(dòng)到位置s₂，
路程：s₂=v₂t₁=2h$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$，
所以P₁只能與P₂相碰在圖中S處，相遇時(shí)必為：t=t₁+（k+$\frac{1}{2}$）T，k=0、1、2、3…，
且要求P₂在這段時(shí)間內(nèi)恰好走過2R的路程，因此有：v₂t=2R=4$\sqrt{2}$h，
即得：v₂=4$\sqrt{2}$$\frac{h}{t}$=$\frac{2\sqrt{2}{v}_{1}}{1+（2k+1）π}$，所以：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{1+（2k+1）π}{2\sqrt{2}}$  （k=0、1、2、3…）
答：（1）P₁的比荷為$\frac{{v}_{1}}{2Bh}$；
（2）v₁和v₂的比值：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{1+（2k+1）π}{2\sqrt{2}}$  （k=0、1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)粒子的受力分析粒子在管中的運(yùn)動(dòng)情況，離開管口后粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子相碰時(shí)的草圖，確定位移關(guān)系，注意圓周運(yùn)動(dòng)的周期性是正確解題的關(guān)鍵．