Question

13．如圖所示，豎直平面內(nèi)有無(wú)限長(zhǎng)、不計(jì)電阻的兩組平行光滑金屬導(dǎo)軌，寬度均為L(zhǎng)=0.5m，上方連接一個(gè)阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導(dǎo)軌上，金屬桿與導(dǎo)軌等寬且與導(dǎo)軌接觸良好，電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿1固定在磁場(chǎng)的上邊緣（仍在此磁場(chǎng)內(nèi)），金屬桿2從磁場(chǎng)邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)后恰作勻速運(yùn)動(dòng)．（g取10m/s²）求：
（1）金屬桿的質(zhì)量m為多大？
（2）若金屬桿2從磁場(chǎng)邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后開始勻速運(yùn)動(dòng)．在此過(guò)程中整個(gè)回路產(chǎn)生了1.4J的電熱，則此過(guò)程中流過(guò)電阻R的電量q為多少？
（3）金屬桿2仍然從離開磁場(chǎng)邊界h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)的同時(shí)由靜止釋放金屬桿1，兩金屬桿運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間后均達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，試求兩根金屬桿各自的最大速度．（已知兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)分別為E₁、E₂不同的電源串聯(lián)時(shí)，電路中總的電動(dòng)勢(shì)E=E₁+E₂．）

Answer 1

分析 （1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v；進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，重力與安培力平衡，應(yīng)用安培力公式求出安培力，然后應(yīng)用平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后開始勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，you8電流定義式求出電荷量．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運(yùn)動(dòng)，合力等于零時(shí)速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個(gè)金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，任何時(shí)刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時(shí)間內(nèi)速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關(guān)系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度．

解答 解：（1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，
則有：v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s；
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)，則有 mg=BIL
且 E=BLv，I=$\frac{E}{2r+R}$，解得，m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{（2r+R）g}$，
代入數(shù)據(jù)解得：m=0.2kg；
（2）金屬桿2從下落到再次勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，
能量守恒（設(shè)金屬桿2在磁場(chǎng)內(nèi)下降h₂），則有
mg（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$mv²+Q，代入數(shù)據(jù)解得：h₂=1.3m；
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)到勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BL{h}_{2}}{{t}_{2}}$，
$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2r+R}$，q=$\overline{I}$t₂，代入數(shù)據(jù)解得，電量q=0.65C
 （3）金屬2桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v′=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運(yùn)動(dòng)，合力等于零時(shí)速度最大．
mg=BIL，且I=$\frac{{E}_{1}+{E}_{2}}{2r+R}$，E₁=BLv₁，E₂=BLv₂，整理得 v₁+v₂=$\frac{mg（2r+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)得：v₁+v₂=4m/s
因?yàn)閮蓚�(gè)金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，故任何時(shí)刻兩者的加速度也相同，在相同時(shí)間內(nèi)速度的增量也都相同，即 v₁-0=v₂-v′，代入數(shù)據(jù)得 v₂=v₁+2，聯(lián)立解得，v₁=1m/s，v₂=3m/s
答：（1）金屬桿2的質(zhì)量m為0.2kg．
（2）流過(guò)電阻R的電量q為0.65C．
（3）兩根金屬桿各自的最大速度分別是1m/s和3m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，第3問(wèn)關(guān)鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時(shí)刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關(guān)系．