Question

18．如圖1所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜時細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長L=1m，B點距轉(zhuǎn)軸的水平和距C點豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₁時，細(xì)線AB上的張力為0而細(xì)線AC與豎直方向的夾角仍為37°，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₂時，細(xì)線AB剛好豎直，且張力為0，求此時角速度ω₂的大��；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動，試通過計算在坐標(biāo)圖2中畫出細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω₂變化的關(guān)系圖象．（不寫計算過程）

Answer 1

分析 （1）細(xì)線AB上張力恰為零時，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度ω₁的大�。�
（2）細(xì)線AB剛好豎直，且張力為0時，由幾何關(guān)系求出細(xì)線AC與豎直方向的夾角．細(xì)線AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出此時角速度ω₂的大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω≤ω₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s時、ω₁≤ω≤ω₂時、ω＞ω₂時拉力的大小，從而確定細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答 解（1）細(xì)線AB上張力恰為零時，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：
   mgtan37°=m${ω}_{1}^{2}$lsin37°
解得：ω₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s
（2）細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零時，設(shè)細(xì)線AC與豎直方向的夾角為θ′．
由幾何關(guān)系得：cosθ′=$\frac{3}{5}$，得θ'=53°
根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ′=m${ω}_{2}^{2}$lsinθ′
解得，ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s，
（3）當(dāng)ω≤ω₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s時，細(xì)線AB水平，細(xì)線AC上張力的豎直分量始終等于小球的重力：Tcosθ=mg；
解得：T=12.5N．
ω₁≤ω≤ω₂時細(xì)線AB松弛，細(xì)線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運動需要的向心力，則有：
  Tsinα=mω²lsinα，T=mω²l
ω＞ω₂時，細(xì)線AB在豎直方向繃直，仍然由細(xì)線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運動需要的向心力：Tsinθ'=mω²lsinθ'T=mω²l
綜上所述：ω≤ω₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s時，T=12.5N不變；ω＞ω₁時，T=mω²l=ω²（N），T-ω²關(guān)系圖象如圖所示             

答：（1）角速度ω₁的大小為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s；
（2）此時角速度ω₂的大小為$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s，
（3）計算見上，在坐標(biāo)圖中畫出細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖所示．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運動的向心力來源，確定小球運動過程中的臨界狀態(tài)，運用牛頓第二定律進(jìn)行求解．