Question

9．如圖所示，在邊界ROP的上方有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．平行板PQ和MN間有如圖2所示的交變勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向向上為正，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，板間距離為d，PO與水平方向的夾角為θ=30°，一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子從O點(diǎn)以初速度v垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好從PO邊水平射出，并沿平行板間的中線O₁O₂在t=0的時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，OR與MN在同一條直線上，不計(jì)粒子的重力．
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（2）若粒子恰好能從上板右側(cè)邊緣Q點(diǎn)水平射出，則交變電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀和周期T應(yīng)滿足什么條件？
（3）若粒子從O₁點(diǎn)射入電場(chǎng)的時(shí)刻為t=$\frac{1}{4}$T，要使粒子剛好從O₂點(diǎn)射出電場(chǎng)，則交變電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀和周期T應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）畫出軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力及幾何關(guān)系列式求解．
（2）粒子射入電場(chǎng)從Q點(diǎn)水平射出，說(shuō)明豎直方向的分速度為零，列出水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程．
（3）從${O}_{2}^{\;}$點(diǎn)射出磁場(chǎng)，即豎直位移是0，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律列出方程即可求解．

解答 解：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{mv}{qB}$
畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖
由幾何關(guān)系得：R=d
聯(lián)立以上各式得：$B=\frac{mv}{qd}$
（2）粒子射入電場(chǎng)，垂直電場(chǎng)方向勻速直線運(yùn)動(dòng)：L=vt
粒子在電場(chǎng)中的加速度為：$a=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}$
在交變電場(chǎng)變化一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，沿電場(chǎng)方向先勻加速后勻減速，一個(gè)周期豎直方向末速度為0
在T時(shí)間內(nèi)粒子在豎直方向運(yùn)動(dòng)的位移為：$y=2×\frac{1}{2}（\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}）（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}=\frac{q{E}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4m}$
粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=nT
豎直方向總位移為：$ny=\fracmomn3cg{2}$
聯(lián)立以上各式得：${E}_{0}^{\;}=\frac{2mdv}{qTL}$
（3）從${O}_{1}^{\;}$點(diǎn)射入電場(chǎng)的時(shí)刻為$t=\frac{1}{4}T$，粒子剛好到${O}_{2}^{\;}$點(diǎn)，畫出運(yùn)動(dòng)的速度圖象，粒子在一個(gè)電場(chǎng)變化周期豎直位移為0，豎直向上運(yùn)動(dòng)的位移為：$y=2×\frac{1}{2}（\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}）（\frac{T}{4}）_{\;}^{2}≤\fracex2z0x7{2}$
${E}_{0}^{\;}≤\frac{8md}{q{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{mv}{qd}$．
（2）若粒子恰好能從上板右側(cè)邊緣Q點(diǎn)水平射出，則交變電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀和周期T應(yīng)滿足的條件是${E}_{0}^{\;}=\frac{2mdv}{qTL}$
（3）若粒子從O₁點(diǎn)射入電場(chǎng)的時(shí)刻為t=$\frac{1}{4}$T，要使粒子剛好從O₂點(diǎn)射出電場(chǎng)，則交變電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E₀和周期T應(yīng)滿足的條件是${E}_{0}^{\;}≤\frac{8md}{q{T}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析，難度較大