Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xoy所決定的平面內(nèi)，在平行于x軸的虛線MN上方、x＜0的區(qū)域存在著沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場；在x＞0的某區(qū)域存在方向垂直于坐標(biāo)平面的圓形有界勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出）．現(xiàn)有一比荷k=

q

m

=10²C/kg的帶正電粒子從虛線MN上的P處，以大小υ₀=20m/s、方向平行于y軸的初速度射入電場，并恰好從原點O處射出，射出時的速度大小υ=40m/s，此后粒子先做勻速運動，然后進(jìn)入圓形有界磁場，粒子從磁場中射出時，出射點為Q且射出時的速度方向沿y軸負(fù)方向．已知磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.2T，不計粒子的重力，忽略粒子運動對電場、磁場的影響．求：
（1）粒子從O點射出時速度υ與y軸間的夾角θ．
（2）P、O兩點間的電勢差U．
（3）Q點的橫坐標(biāo)x．
（4）圓形有界勻強(qiáng)磁場的最小面積S．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子從P點射入電場做類平拋運動，將O點速度分解，根據(jù)分速度與合速度的關(guān)系求出夾角θ．
（2）根據(jù)動能定理求出P、O兩點間的電勢差U．
（3）粒子射出電場后先做勻速運動，然后進(jìn)入圓形有界磁場，根據(jù)幾何關(guān)系確定圓心，根據(jù)軌道半徑的大小求出Q點的橫坐標(biāo)．
（4）以粒子在勻強(qiáng)磁場中運動的軌跡的初末兩點連線為圓的直徑，該圓的面積為勻強(qiáng)磁場的最小面積S．

解答：解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場中y軸方向上做勻速直線運動，x軸方向上做勻加速直線運動，將O點的速度分解，有：
cosθ=

v0

v

=

1

2

．
解得θ=60°．
（2）根據(jù)動能定理得，qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
因為比荷k=

q

m

=10²C/kg
代入數(shù)據(jù)解得：U=6V．
（3）根據(jù)qvB=m

v2

R

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的軌道半徑：R=

mv

qB

=

40

1.2

×

1

100

=

1

3

m．
根據(jù)幾何關(guān)系得：x=R+

R

sin30°

=3R=1m．
（4）以粒子在勻強(qiáng)磁場中運動的軌跡的初末兩點連線為圓的直徑，該圓的面積為勻強(qiáng)磁場的最小面積．
該圓的半徑r=Rsin60°=

3

2

×

1

3

=

3

6

m
則S=πr2=

π

12

m2．
答：（1）粒子從O點射出時速度υ與y軸間的夾角θ為60°．
（2）P、O兩點間的電勢差U為6V．
（3）Q點的橫坐標(biāo)x=1m．
（4）圓形有界勻強(qiáng)磁場的最小面積為

π

12

m2．

點評：解決本題的關(guān)鍵知道粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運動，進(jìn)入磁場做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律、運動學(xué)公式以及幾何關(guān)系進(jìn)行求解．