Question

如圖所示，AEBCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AEB是半徑為R=1.5m的1/4圓周軌道，CDO是直徑為1.5m的半圓軌道．AEB軌道和CDO軌道通過極短的水平軌道（長度忽略不計）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．質(zhì)量m=0.1kg的小球由A點(diǎn)的正上方高H的P點(diǎn)處自由落下，從A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道運(yùn)動（小球經(jīng)過A點(diǎn)時無機(jī)械能損失），小球恰能通過CDO軌道最高點(diǎn)．并落在AEB軌道上的E點(diǎn)，不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）高度H的大小；
（2）當(dāng)小球通過CDO軌道最低點(diǎn)C時對軌道的壓力大��；
（3）θ角的大�。�（用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過CDO軌道最高點(diǎn)，根據(jù)重力等于向心力列式求解O點(diǎn)速度，然后就機(jī)械能守恒定律列方程求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)速度，然后根據(jù)重力和支持力的合力提供向心力列式求解出支持力，根據(jù)牛頓第三定律得到壓力；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動的分位移公式列式求解．

解答：解：（1）因?yàn)樾∏蚯∧芡ㄟ^O點(diǎn)，故有：mg=m

v 2 O

r

解得：v₀=

gr

小球從P→O機(jī)械能守恒，故：mgH=

1

2

m

v

2 O

r=

R

2

，可得H=

R

4

=0.375m
（2）P→C機(jī)械能守恒  mg（H+R）=

1

2

m

v

2 C

在C點(diǎn)用向心力公式得：NC-mg=m

v 2 C

r

聯(lián)立得：N=6mg=6N
（3）小球離開O點(diǎn)做平拋運(yùn)動，初速度為vO=

gr

由平拋運(yùn)動規(guī)律得：
Rsinθ=v_Ot
Rcosθ=

1

2

gt2
聯(lián)立得：cos²θ+cosθ-1=0
解得cosθ=

-1± 5

2

，舍去負(fù)值得cosθ=

5 -1

2

；
所以θ=arccos

5 -1

2

；
答：（1）高度H的大小為0.375m；
（2）當(dāng)小球通過CDO軌道最低點(diǎn)C時對軌道的壓力大小為6N；
（3）θ角的大小為arccos

5 -1

2

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵明確小球的運(yùn)動規(guī)律，然后結(jié)合機(jī)械能守恒定律、向心力公式、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動的規(guī)律列式求解．