Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有P₁（-

4 3

3

m，3m）、P₂（

2 3

3

m，3m）、P₃（

2 3

3

m，-1m）、P₄（-

2 3

3

m，-1m），其平面內(nèi)x≤12.5m的區(qū)域有平行XOY平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，12.5m≤x≤12.5m+d的區(qū)域內(nèi)有垂直于該平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且P₁、P₂、P₃的電勢(shì)分別為-2000V、1000V、-1000V，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.01T．如果有一個(gè)重力可以忽略的帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)以大小為10⁶m/s、方向與-Y軸夾角為30°的速度射入第四象限，經(jīng)過(guò)t=10^-5s時(shí)速度恰好平行X軸，方向與X軸同向．粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅受電場(chǎng)或磁場(chǎng)作用．
（1）求P₄點(diǎn)的電勢(shì)；
（2）求帶電粒子的性質(zhì)及比荷

q

m

；
（3）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度d至少多大時(shí)，該粒子才能返回電場(chǎng)？粒子從什么坐標(biāo)位置返回電場(chǎng)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)U=Ed，d是兩點(diǎn)沿電場(chǎng)線方向的距離，分別求解1、2和4、3間的電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系，即可求得P₄點(diǎn)的電勢(shì)．
（2）據(jù)題意，P₁ P₂與Y軸交點(diǎn)M（0m，3m）電勢(shì)為0，點(diǎn)N（

2 3

3

m，1m）的電勢(shì)也為0，直線MN就是一條等勢(shì)線，從而確定MN與Y軸夾角，得到電場(chǎng)的方向，由公式U=Ed求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�在t內(nèi)粒子在-Y方向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度公式求解比荷．
（3）在t內(nèi)粒子在+X方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，由位移時(shí)間公式求解位移，粒子速度與X軸平行時(shí)恰好進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求解出軌道半徑．根據(jù)幾何知識(shí)求解即可．

解答：解：（1）據(jù)題意P₁ P₂平行P₃P₄，且這四點(diǎn)不在同一等勢(shì)面上，設(shè)P₁ P₂與電場(chǎng)方向的夾角為θ，這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為（φ₁-φ₂），則有：
?1-?2=E

.

P1P2

cosθ，
同理有：?4-?3=E

.

P4P3

cosθ
故：

. P1P 2

. P4P 3

=

?1-?2

?4-?3

解得：φ₄=-3000V
（2）據(jù)題意，P₁ P₂與Y軸交點(diǎn)M（0m，3m）電勢(shì)為0，點(diǎn)N（

2 3

3

m，1m）的電勢(shì)也為0，即直線MN為等勢(shì)線，設(shè)MN與Y軸夾角為α，則 tanα=

MP2

P2N

=

3

3

得：α=30°
因電場(chǎng)的方向垂直MN，所以電場(chǎng)方向與X軸夾角也30°，且指向第三象限．E=

U2M

MP2cosα

=1000V
在t內(nèi)粒子在-Y方向上做勻減速運(yùn)動(dòng)vcos30°=a_yt
 ay=

Fy

m

=

Eqsin30°

m

解得：

q

m

=

3

×108C/kg，且?guī)ж?fù)電；
（3）在t內(nèi)粒子在+X方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，有：x=vsin30°t+

1

2

axt2
 ax=

Fx

m

=

Eqcos30°

m

代入數(shù)據(jù)得：x=12.5m
即粒子速度與X軸平行時(shí)恰好進(jìn)入磁場(chǎng)為：Bqvx=m

v 2 x

r

  v_x=vsin30°+a_xt
解得：r=

2 3

3

m
d至少應(yīng)為：d=r=

2 3

3

m
因進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)  y=-

vcos30°

2

t=-

5 3

2

m
即進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)粒子的坐標(biāo)為 （12.5m，-

5 3

2

m）
故再次進(jìn)入電場(chǎng)的坐標(biāo)是 （12.5m，-

7 3

6

m）或（12.5m，-

23 3

6

m）
答：（1）P₄點(diǎn)的電勢(shì)為-3000V；
（2）帶電粒子帶負(fù)電，比荷

q

m

為

3

×10⁸C/kg；
（3）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度d至少為

2 3

3

m時(shí)，該粒子才能返回電場(chǎng)；粒子從 （12.5m，-

7 3

6

m）或（12.5m，-

23 3

6

m）坐標(biāo)位置返回電場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，正確分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)力學(xué)的基本規(guī)律求解．