Question

18．如圖所示，豎直平面內(nèi)有足夠長(zhǎng)、不計(jì)電阻的兩組平行光滑金屬導(dǎo)軌，寬度均為L(zhǎng)=0.5m，上方連接一個(gè)R=2Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導(dǎo)軌上，金屬桿與導(dǎo)軌等寬且與導(dǎo)軌接觸良好，電阻均為r=1Ω．將金屬桿1固定在磁場(chǎng)的上邊緣（仍在此磁場(chǎng)內(nèi)），金屬桿2從磁場(chǎng)邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)后恰做勻速運(yùn)動(dòng)．（g取10m/s²）．
（1）金屬桿的質(zhì)量m為多大？
（2）若金屬桿2從磁場(chǎng)邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)經(jīng)過一段時(shí)間后開始勻速運(yùn)動(dòng)．此過程中電阻R產(chǎn)生的熱量為0.7J，求金屬桿2在磁場(chǎng)中下落的高度h₂以及在此過程中通過金屬桿橫截面的電荷量q；
（3）若金屬桿2從離磁場(chǎng)邊界上方h₃處?kù)o止釋放，同時(shí)靜止釋放金屬桿1．當(dāng)金屬桿1速度為1m/s時(shí)，金屬桿2恰好進(jìn)入磁場(chǎng)，要使金屬桿1和金屬桿2立刻做勻速運(yùn)動(dòng)，則金屬桿2的釋放高度h₃應(yīng)該為多大？

Answer 1

分析 （1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，重力與安培力平衡，E=BLv，I=$\frac{E}{R+2r}$、F=BIL，及平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)經(jīng)過一段時(shí)間后開始勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，q=$\overline{I}$•t₂求出電量q．
（3）由平衡關(guān)系可求得電流大��；再由兩棒切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求解速度，再由自由落體規(guī)律可求得下落的高度．

解答 解：（1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)
由${v}_{m}^{2}$=2gh₀得金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v_m=$\sqrt{2gh0}$=4 m/s；
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)后受力平衡：mg=BIL
且E=BLv_m，I=$\frac{E}{2r+R}$
解得：$m=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{（2r+R）g}$
解得：m=0.1kg
（2）設(shè)金屬桿2剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v
v²=2gh₁
解得v=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=2 m/s
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)到勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)金屬桿2在磁場(chǎng)內(nèi)下降h₂．
此過程中，電阻R、金屬桿1和金屬桿2串聯(lián)，電流相等．故回路中產(chǎn)生的熱量：Q=$\frac{2r+R}{R}{Q}_{R}$=1.4J
由能量守恒定律有：$mg（{h}_{1}+{h}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q
解得h₂=1.3m
又$\overline{E}$=$\frac{BL{h}_{2}}{{t}_{2}}$
因電磁感應(yīng)定律，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，
且q=$\overline{I}t$
得：$q=\frac{BL{h}_{2}}{R+2r}$=$\frac{2×0.5×1.3}{1+2×0.5}$=0.65C
（3）設(shè)金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，金屬桿1和2的速度分別為v₁、v₂，兩桿受力情況相同，所以要使它們勻速下落，則有：mg=BIL
而電路中的電流I=$\frac{E′}{R+2r}$
兩金屬桿切割所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E'=E₁+E₂=BLv₁+BLv₂
聯(lián)立解得：v₂=$\frac{mg（R+2r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$-v₁；
解得：v₂=3m/s；
根據(jù)自由落體規(guī)律可得：h₃=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$
解得：h₃=0.45m；
答：（1）金屬桿的質(zhì)量m為0.1kg；
（2）在此過程中通過金屬棒橫截面的電荷量為0.65C；
（3）金屬桿2的釋放高度h₃應(yīng)該為0.45m．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，第3問關(guān)鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時(shí)刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關(guān)系．