Question

（2013?普陀區(qū)一模）如圖所示，兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L，處于豎直向下的磁場中，整個磁場由n個寬度皆為x₀的條形勻強(qiáng)磁場區(qū)域1、2…n組成，從左向右依次排列，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B、2B、3B…nB，兩導(dǎo)軌左端MP間接入電阻R，一質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌電接觸良好，不計導(dǎo)軌和金屬棒的電阻．

（1）對金屬棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開始運(yùn)動并穿過n個磁場區(qū)，求棒穿越磁場區(qū)1的過程中通過電阻R的電量q．
（2）對金屬棒ab施加水平向右的拉力，讓它從圖示位置由靜止開始做勻加速運(yùn)動，當(dāng)棒進(jìn)入磁場區(qū)1時開始做勻速運(yùn)動，速度的大小為v．此后在不同的磁場區(qū)施加不同的拉力，使棒保持做勻速運(yùn)動穿過整個磁場區(qū)．取棒在磁場1區(qū)左邊界為x=0，作出棒ab所受拉力F隨位移x變化的圖象．
（3）求第（2）中棒通過第i（1≤i≤n）磁場區(qū)時的水平拉力F_i和棒在穿過整個磁場區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱Q．
（用x₀、B、L、m、R、n表示）

Answer 1

分析：（1）法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求解棒穿越磁場區(qū)1的過程中通過電阻R的電量q．
（2）當(dāng)棒進(jìn)入磁場區(qū)時開始做勻速運(yùn)動，拉力與安培力平衡，由安培力公式F_A=

B2L2v

R

，得到拉力，可作出圖象．

△Φ

R

（3）由動能定理求出棒剛進(jìn)入磁場時的速度，由拉力與安培力平衡，可求得棒通過第i（1≤i≤n）磁場區(qū)時的水平拉力F_i．棒克服安培力做功，等于產(chǎn)生的熱量，可求解總熱量．

解答：解：（1）電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=

△Φ

△t

通過電阻R的電量為：q=

.

I

△t，

.

I

=

. E

R

，
得到 q=

△Φ

R

導(dǎo)體棒通過I區(qū)過程：△Φ=BLx₀
解得：q=

BLx0

R

（2）當(dāng)棒進(jìn)入磁場區(qū)時開始做勻速運(yùn)動，拉力與安培力平衡，由安培力公式F_A=

B2L2v

R

，則得  拉力F=F_A=

B2L2v

R

，作圖如圖．

（3）設(shè)進(jìn)入I區(qū)時拉力為F₁，速度v，則有：
   F1x0=

1

2

mv 2 ①
   F₁=F_A=

B2L2v

R

，②
聯(lián)立①②解得   F1=

2B4L4x0

mR2

，v=

2B2L2x0

mR

所以   Fi=

2i2B4L4x0

mR2

Q=F₁x₀+F₂x₀…+F_nx₀
故Q=

2 x 2 0 B4L4

mR2

（1²+2²+…n²）
答：（1）棒穿越磁場區(qū)1的過程中通過電阻R的電量q為

BLx0

R

．
（2）拉力F隨位移x變化的圖象如圖．
（3）棒通過第i（1≤i≤n）磁場區(qū)時的水平拉力F_i為 Fi=

2i2B4L4x0

mR2

，棒在穿過整個磁場區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱Q=

2 x 2 0 B4L4

mR2

（1²+2²+…n²）．

點(diǎn)評：對于電磁感應(yīng)問題，感應(yīng)電量q=

△Φ

R

和安培力F_A=

B2L2v

R

，都是常用的經(jīng)驗公式，在學(xué)會推導(dǎo)的基礎(chǔ)上記牢，有助于分析．本題是數(shù)列問題，運(yùn)用歸納法研究．