Question

如圖甲所示，兩光滑的平行導(dǎo)軌MON與PO′Q，其中ON、O′Q部分是水平的，傾斜部分與水平部分用光滑圓弧連接，Q、Ⅳ兩點(diǎn)間接有電阻尺，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)．水平導(dǎo)軌處有兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ（分別是cdef和ghjk），磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面豎直向上，Ⅱ區(qū)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的恒定磁場(chǎng)區(qū)，Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)的寬度為x₀，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化．一質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌放置在Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)中央位置，t=0時(shí)刻Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小從B₁開始均勻減小至零，如圖乙所示，導(dǎo)體棒在安培力的作用下運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖丙所示．求：
（1）t=0時(shí)刻，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的加速度a；
（2）導(dǎo)體棒穿過Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)邊界過程中安培力所做的功；
（3）Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)的寬度x₁．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；根據(jù)歐姆定律求解出電流；計(jì)算出安培力后根據(jù)牛頓第二定律求解出加速度；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理列式求解安培力的功，根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)合成得到電動(dòng)勢(shì)，求出電流和電功率；
（3）結(jié)合圖象并運(yùn)用微元法，得到Ⅱ區(qū)寬度，然后根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力公式、切割式等列式分析計(jì)算．

解答：解：（1）t=0時(shí)刻，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=

△φ

△t

=

△B

△t

S=

B1

t0

?

Lx0

2

，
感應(yīng)電流 I=

E

2R

導(dǎo)體棒受到向左的安培力，大小為F=B₁IL=

B 2 1 L2x0

4Rt0

 
導(dǎo)體棒有向左的加速度，大小為 a=

F

m

=

B 2 1 L2x0

4mRt0

（2）由丙圖知：

1

2

t₀時(shí)刻導(dǎo)體棒穿出磁場(chǎng)速度為v₀，由動(dòng)能定理得：安培力的功為W=

1

2

m

v

2 0

．
（3）磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)寬度為x₁，棒在Ⅱ區(qū)任一時(shí)刻速度為v，E=BLv，I=

B0Lv

2R

棒受到向右安培力 F=B₀IL=

B 2 0 L2v

2R

加速度大小a=

B 2 0 L2v

2mR

由加速度定義得：a=-

△v

△t

得
△v=-a△t=-

B 2 0 L2v

2mR

△t
穿過磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)全程
∑△v=-

B 2 0 L2

2mR

v△t=-

B 2 0 L2

2mR

△x₁
因∑△v=

1

2

v0-v₀，△x₁=x₁
所以得x₁=

mRv0

B 2 0 L2

答：
（1）t=0時(shí)刻，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的加速度a是

B 2 1 L2x0

4mRt0

；
（2）導(dǎo)體棒穿過Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)邊界過程中安培力所做的功是

1

2

m

v

2 0

；
（3）Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)的寬度x₁是

mRv0

B 2 0 L2

．

點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵結(jié)合圖象得到導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；第三題要結(jié)合微元法求解，切入點(diǎn)是加速度的定義式．