Question

19．如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m，細(xì)線AC長l，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平距離和豎直距離相等．（sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）當(dāng)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，求AB和AC細(xì)線上的拉力大��；
（2）若AB細(xì)線水平且拉力等于重力的一半，求此時(shí)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁的大��；
（3）若要使AB細(xì)線上的拉力為零，求裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）靜止時(shí)受力分析，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）對(duì)小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（3）當(dāng)細(xì)線AB張力為零時(shí)，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）受力分析如右圖，由平衡條件
T_AB=mgtan37°=0.75mg，${T}_{AC}=\frac{mg}{cos37°}=1.25mg$，
（2）受力分析如（1）問所示，由牛頓第二定律
Tcosθ=mg，
$Tsinθ-{T}_{AB}=m（lsinθ）{{ω}_{1}}^{2}$，
解得 ${ω}_{1}=\sqrt{\frac{5g}{12l}}$．
（3）由題意，當(dāng)ω最小時(shí)繩AC與豎直方向夾角θ₁=37°，
受力分析如右圖，$mgtan{θ}_{1}=m（lsin{θ}_{1}）{{ω}_{min}}^{2}$，
得${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$．
當(dāng)ω最大時(shí)繩AC與豎直方向夾角θ₂=53°，
$mgtan{θ}_{2}=m{{ω}_{max}}^{2}lsin{θ}_{2}$，
得${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
所以ω取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
答：（1）AB和AC細(xì)線上的拉力大小分別為0.75mg、1.25mg．
（2）此時(shí)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁的大小為$\sqrt{\frac{5g}{12l}}$．
（3）裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了共點(diǎn)力平衡和牛頓第二定律的基本運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，確定小球運(yùn)動(dòng)過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．