Question

我們的銀河系中的恒星大約四分之一是雙星．有一種雙星，質(zhì)量分別為m₁和m₂的兩個(gè)星球，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．它們之間的距離恒為L(zhǎng)，不考慮其他星體的影響．兩顆星的軌道半徑和周期各是多少？

Answer 1

分析：雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度．對(duì)m₁，G

m1m2

L2

=m1R1ω2，對(duì)m₂，G

m1m2

L2

=m2R2ω2．

解答：解：設(shè)m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時(shí)角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
對(duì)m₁：G

m1m2

L2

=m1R1ω2…①
對(duì)m₂：G

m1m2

L2

=m2R2ω2…②
由①②式可得：m₁R₁=m₂R₂    又因?yàn)镽₁十R₂=L，
所以得：R1=

m2

m1+m2

L
        R2=

m1

m1+m2

L
將ω=

2π

T

，R1=

m2L

m1+m2

代入 ①式，可得：
G

m1m2

L2

=m1

m2L

m1+m2

?

4π2

T2

所以得：T=

4π2L3 G(m1+m2)

=2πL

L G(m1+m2)

答：兩顆星的軌道半徑分別為：R1=

m2

m1+m2

L，R2=

m1

m1+m2

L，
它們的周期相同為T=2πL

L G(m1+m2)

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會(huì)用萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行求解．