Question

7．質(zhì)量未知的小球在豎直向上、大小為F的力作用下，豎直向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v₀．運(yùn)動(dòng)至位置A時(shí)，力突然增大到某值（方向仍向上），持續(xù)一段時(shí)間t后，力變?yōu)樨Q直向下，但仍保持某值大小不變，再持續(xù)同樣一段時(shí)間后，小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)．重力加速度大小為g，不計(jì)其他阻力．
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）①求增大后力的大��；（已知不加外力時(shí)，小球以初速度v₀做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最大高度恰好等于B、A兩點(diǎn)間距離的兩倍）；②為保證后來(lái)的力比原來(lái)的大，試給出相應(yīng)的t和v₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）分析小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，小球先向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A處后因力突然增大而開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t后力突然反向，小球開(kāi)始做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，并可能在速度減為零后做反向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．對(duì)力增大后的兩個(gè)過(guò)程分別列出牛頓第二定律方程，即可求得兩個(gè)過(guò)程中的加速度，而t又是一個(gè)已知量，那么直接使用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求出小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度v_B的大��；
（2）因?yàn)樾∏蜃詈罂赡茏龇聪虻膭蚣铀僦本�運(yùn)動(dòng)，因此我們不能確定B點(diǎn)的位置究竟在A點(diǎn)上方還是A點(diǎn)下方，故需要分為兩種情況討論．對(duì)其中每一種情況，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出方程，并與豎直上拋的方程進(jìn)行聯(lián)立，即可分別求得兩種情況下的場(chǎng)強(qiáng)E₂的大��；而根據(jù)題意，為求出t₁與v₀滿足的條件，只需要使E₂＞E₁即可，那么就可以最終求得t₁與v₀間的關(guān)系式．

解答 解：（1）設(shè)小球的質(zhì)量為m，增大后的力為F′，根據(jù)題中條件可以判斷力F與重力方向相反；
對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)階段，有 F=mg…①
對(duì)于力突然增大后的第一段t時(shí)間，由牛頓第二定律得：F′-mg=ma₁…②
對(duì)于力變?yōu)樨Q直向下的時(shí)間t內(nèi)，由牛頓第二定律得：F′+mg=ma₂ …③
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可得油滴在電場(chǎng)反向時(shí)的速度為：v₁=v₀+a₁t ④
油滴在B的速度為：v_B=v-a₂t ⑤
聯(lián)立①至⑤式，可得：v_B=v₀-2gt；
（2）設(shè)無(wú)力時(shí)豎直上拋的最大高度為h，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有：v₀²=2gh…⑥
根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系可得：v₀t+$\frac{1}{2}$a₁t²=x₁…⑦
v₁t-$\frac{1}{2}$a₂t²=x₂…⑧
小球的運(yùn)動(dòng)有兩種情況：
情況一：
位移之和 x₁+x₂=$\frac{h}{2}$…⑨
聯(lián)立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：
  F′=F+$\frac{F}{g}$（g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$）
由題意得 F′＞F，即滿足條件 g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$＞0，即當(dāng)0＜t＜（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$或t＞（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$才是可能的；
情況二：
位移之和x₁+x₂=-$\frac{h}{2}$…⑩
聯(lián)立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：
 F′=F+$\frac{F}{g}$（g-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$）
由題意得E₂＞E₁，即滿足條件F′＞F，即滿足條件 g-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$＞0，即當(dāng)t＞（1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$，另一解為負(fù)，不合題意，舍去．
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度為v₀-2gt；
（2）增大后力的大小為F+$\frac{F}{g}$（g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$），t和v₀應(yīng)滿足的條件為0＜t＜（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$或t＞（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$；
或增大后力的大小為F+$\frac{F}{g}$（g-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$），滿足的條件為t＞（1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$．

點(diǎn)評(píng) 解決復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，可以從兩條線索展開(kāi)：
其一，力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系．根據(jù)物體的受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定速度和位移等；
其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)做功情況，引起物體的能量發(fā)生變化，利用動(dòng)能定理進(jìn)行解答．