Question

4．在2011年少年科技創(chuàng)新大賽中，某同學展示了其設計的自設程序控制的電動賽車，賽車（可視為質(zhì)點）從A點由靜止出發(fā)，經(jīng)過時間t后關(guān)閉電動機，賽車繼續(xù)前進至B點后進入固定在豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道，通過軌道最高點P后又進入水平軌道CD上．已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運動時受到阻力恒為車重的0.5倍，即k=$\frac{{F}_{f}}{mg}$=0.5．賽車的質(zhì)量m=0.4kg，通電后賽車的電動機以額定功率P=2W工作，軌道AB的長度L=2m．圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比賽，要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短．在此條件下，求：
（1）小車在CD軌道上運動的最短路程；
（2）賽車電動機工作的時間．

Answer 1

分析 賽車在電動機牽引力作用下從靜止開始加速運動，之后關(guān)閉發(fā)動機滑行，正好能在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短．因此利用車恰能通過軌道最高來求出進入軌道C點的最小速度，從而由動能定理來求出CD軌道上運動的最短路程，同時再由動能定理來求出賽車電動機工作的時間．

解答 解：（1）要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短，則小車經(jīng)過圓軌道P點時速度最小，此時賽車對軌道的壓力為零，重力提供向心力：$mg=m\frac{v_P^2}{R}$
C點的速度，由機械能守恒定律可得：$mg•2R+\frac{1}{2}mv_P^2=\frac{1}{2}mv_C^2$
由上述兩式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)可得：v_C=5m/s                          
設小車在CD軌道上運動的最短路程為x，由動能定理可得：$-kmgx=0-\frac{1}{2}mv_C^2$
代入數(shù)據(jù)可得：x=2.5m                                           
（2）由于豎直圓軌道光滑，由機械能守恒定律可知：v_B=v_C=5m/s      
從A點到B點的運動過程中，由動能定理可得：$Pt-kmgL=\frac{1}{2}mv_B^2$
代入數(shù)據(jù)可得：t=4.5s．
答：（1）小車在CD軌道上運動的最短路程是2.5m；
（2）賽車電動機工作的時間是4.5s．

點評 本題突破口是小車恰能通過最高點時，就是小車在CD軌道上運動的最短路程．同時對動能定理，機械能守恒定律理解．