Question

如圖所示，在x軸上方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向豎直向下．在x軸下方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向里．在x軸上有一點(diǎn)p，離原點(diǎn)距離為a．現(xiàn)有一帶電量為+q，質(zhì)量為m的粒子，不計(jì)重力，從0＜x＜a區(qū)間某點(diǎn)由靜止開始釋放后，能經(jīng)過p點(diǎn)．試求：
（1）釋放瞬間粒子的加速度；
（2）釋放點(diǎn)的坐標(biāo)x、y應(yīng)滿足的關(guān)系式？

Answer 1

分析：（1）要使粒子從靜止開始能經(jīng)過P點(diǎn)，其初始位置必須在勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域里，由電場(chǎng)加速獲得速度才能到達(dá)P點(diǎn)．釋放瞬間，粒子不計(jì)重力，只受到電場(chǎng)力作用，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；
（2）粒子先加速后磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，由幾何知識(shí)得到磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與OP距離間的關(guān)系：a=2nR （=n=1，2，3，…）．分別根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求解電場(chǎng)加速粒子獲得的速度、磁場(chǎng)中軌跡半徑表達(dá)式，即可求出初始坐標(biāo)滿足的條件；

解答：解：（1）要使粒子從靜止開始能經(jīng)過P點(diǎn)，其初始位置必須在勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域里，根據(jù)牛頓第二定律得：
    釋放瞬間粒子的加速度為a=

qE

m

，方向沿y軸負(fù)方向．
（2）由于粒子從0＜x＜a區(qū)間某點(diǎn)由靜止開始釋放，軌跡如圖．
由于粒子可能偏轉(zhuǎn)一個(gè)、十個(gè)…半圓到達(dá)P點(diǎn)，由幾何知識(shí)得
    a-x=2nR（n=1，2，3，…）①
設(shè)釋放處距O的距離為y，則有
qEy=

1

2

mv2 ②
又 qvB=m

v2

R

  ③
聯(lián)立①②③得 y=

B2q(a-x)2

8n2mE

(n=1，2，3，…)
答：
（1）釋放瞬間粒子的加速度為

qE

m

，方向沿y軸負(fù)方向．
（2）釋放點(diǎn)的坐標(biāo)x、y應(yīng)滿足的關(guān)系式y=

B2q(a-x)2

8n2mE

(n=1，2，3，…)．

點(diǎn)評(píng)：本題是多解問題，在條件不明時(shí)，要分情況進(jìn)行討論，不能漏解．分析時(shí)，要畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系得到粒子運(yùn)動(dòng)的半徑與OP距離的關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵．