Question

20．在如圖a所示的Oxy坐標(biāo)系中，兩互相平行的極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長度和板間距均為l．在第一、四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子．在0～2t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖b所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響，0-t₀時(shí)間內(nèi)P板的電勢高于Q板的電勢）．已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）

（1）求電壓U₀的大�。�
（2）求$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)．由題知道x方向位移為l，y方向位移為$\frac{l}{2}$，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解U．
（2）$\frac{1}{2}{t_0}$時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前$\frac{1}{2}{t_0}$時(shí)間在電場中偏轉(zhuǎn)，后$\frac{1}{2}{t_0}$時(shí)間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出y方向分速度與x方向分速度，再合成求出粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度，則牛頓定律求出粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，
則有 y=$\frac{1}{2}l$，x=l
由$E=\frac{U_0}{l}$…①，
Eq=ma…②，
y=$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}at_0^2$…③
聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為：${U_0}=\frac{{m{l^2}}}{qt_0^2}$…④．
 （2）$\frac{1}{2}{t_0}$時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前$\frac{1}{2}{t_0}$時(shí)間在電場中偏轉(zhuǎn)，后$\frac{1}{2}{t_0}$時(shí)間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
由題，帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為：v_x=${v_0}=\frac{l}{t_0}$…⑤
帶電粒子離開電場時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為：${v_y}=a•\frac{1}{2}{t_0}$…⑥
帶電粒子離開電場時(shí)的速度大小為：$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$…⑦
設(shè)帶電粒子離開電場進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
 則有：$Bvq=m\frac{v^2}{R}$…⑧，
聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式，解得：$R=\frac{{\sqrt{5}ml}}{{2qB{t_0}}}$
答：（1）兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{\sqrt{5}ml}{2qB{t}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題；考查了考生分析、推理和綜合能力，試題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但只要認(rèn)真分析物理過程，找準(zhǔn)物理過程對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律，還是容易求解．