Question

（2011?武昌區(qū)模擬）我國(guó)已啟動(dòng)“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分別將“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”成功發(fā)射，“嫦娥三號(hào)”亦有望在2013年落月探測(cè)90天，并已給落月點(diǎn)起了一個(gè)富有詩(shī)意的名字-“廣寒宮”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請(qǐng)求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析：研究月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式；
運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問(wèn)題．
根據(jù)豎直上拋的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出月球表面重力加速度；
再次運(yùn)用萬(wàn)有引力等于重力求出月球的質(zhì)量．

解答：解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得：
G

M月M

r月2

=M月(

2π

T

)2r月  ①
質(zhì)量為m的物體在地球表面時(shí)：mg=G

Mm

R2

  ②
由①②得：r _月=

3	gR2T2 4π2

（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，
根據(jù)豎直上拋的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：v0=

g月t

2

  ③，
根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得：g月=

GM月

r 2 月

   ④，
由③④解得：M_月=

2v0 r 2 月

Gt

答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

3	gR2T2 4π2

（2）月球的質(zhì)量為

2v0 r 2 月

Gt

點(diǎn)評(píng)：把星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來(lái)是考試中常見(jiàn)的問(wèn)題．
重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．