Question

（2010?成都三模）近年，植被的嚴(yán)重破壞導(dǎo)致我國北方“沙塵暴”頻發(fā)，現(xiàn)將沙塵上揚(yáng)后的情況簡化如下；風(fēng)速豎直向上，設(shè)為v，沙塵顆粒上揚(yáng)后懸浮在空中（視為靜止），此時(shí)風(fēng)對沙塵的作用力等效于沙塵以速度v在靜止的空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的阻力f，且f=aρAv²，式中α為一系數(shù)，A為沙塵顆粒的截面積，ρ為空氣密度．已知α=0.5，地面空氣密度ρ₀=1.2kg/m³，沙塵顆粒為球形，密度ρ秒=3×103kg/m³，半徑R=0.24mm，（球的體積公式為V=

4

3

πR3），重力加速度g取10m/s²，且不考慮重力加速度隨高度的變化．
（1）求發(fā)生沙塵暴時(shí)地面附近的最小風(fēng)速（方向向上）；
（2）若空氣密度ρ隨高度h變化的關(guān)系為ρ=ρ0(1-kh)，常量k=1.2×10-3m^-1，ρ₀為地面空氣密度，當(dāng)豎直向上的風(fēng)速為5m/s時(shí)，求沙塵揚(yáng)起后懸浮的最大高度．

Answer 1

分析：（1）在地面附近，沙塵揚(yáng)起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應(yīng)與重力平衡．應(yīng)用平衡條件列式求解．
（2）設(shè)出最大高度h，表示出此處空氣密度，再由平衡條件列式計(jì)算即可．

解答：解：（1）沙塵懸浮時(shí)受力平衡，根據(jù)平衡條件，有：mg=f
其中：m=ρ沙V=ρ沙×

4

3

πR3
由題意知：f=αρ0Av2，A=πR²
聯(lián)立以上四式得：v=

4Rρ沙g 3αρ0

=

4×0.24×10-3×3000×10 3×0.5×1.2

=4m/s
（2）設(shè)最大高度為h，沙塵懸浮時(shí)受力平衡，有：
mg=f
其中：m=ρ沙V=ρ沙×

4

3

πR3
由題意知：f=αρAv²，A=πR²ρ=ρ₀（1-kh）
聯(lián)立各式并代入數(shù)據(jù)，解得：v=5m/s時(shí)，h=300m
答：（1）發(fā)生沙塵暴時(shí)地面附近的最小風(fēng)速為4m/s；
（2）沙塵揚(yáng)起后懸浮的最大高度為300m．

點(diǎn)評：本題為一個(gè)理論聯(lián)系實(shí)際的題目，本質(zhì)上是平衡條件的應(yīng)用問題，但難點(diǎn)是怎樣把題目中的情景與學(xué)習(xí)的理論知識聯(lián)系起來，同時(shí)運(yùn)算要有耐心．