Question

如圖所示，質(zhì)量為M的長(zhǎng)方形木板靜止在光滑水平面上，木板的左側(cè)固定一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，木板的右側(cè)用一根伸直的并且不可伸長(zhǎng)的輕繩水平地連接在豎直墻上．繩所能承受的最大拉力為T(mén)．一質(zhì)量為m的小滑塊以一定的速度在木板上無(wú)摩擦地向左運(yùn)動(dòng)，而后壓縮彈簧．彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢(shì)能可用公式EP=

1

2

kx2計(jì)算，k為勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．
（1）若在小滑塊壓縮彈簧過(guò)程中輕繩始終未斷，并且彈簧的形變量最大時(shí)，彈簧對(duì)木板的彈力大小恰好為T(mén)，求此情況下小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀；
（2）若小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀'為已知量，并且大于（1）中所求的速度值v₀，求此情況下彈簧壓縮量最大時(shí)，小滑塊的速度；
（3）若小滑塊壓縮彈簧前的速度大于（1）中所求的速度值v₀，求小滑塊最后離開(kāi)木板時(shí)，相對(duì)地面速度為零的條件．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)繩子不斷，當(dāng)滑塊速度減為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）當(dāng)滑塊與長(zhǎng)木板速度相等時(shí)，彈力最大，加速度最大；先求解出斷開(kāi)時(shí)滑塊速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律列式聯(lián)立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑塊與長(zhǎng)木板分離后，速度恰好為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）設(shè)此問(wèn)題中彈簧的最大壓縮量為x₀，則有：
 

1

2

m

v

2 0

=

1

2

k

x

2 0

…①
kx₀=T…②
解得：v0=T

1 km

．
（2）由于小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀′大于（1）中所求的速度值v₀，所以當(dāng)彈簧的壓縮量為x₀時(shí)，小滑塊的速度不為零．
設(shè)彈簧的壓縮量為x₀時(shí)，小滑塊的速度為v，
有  

1

2

m(v0′)2=

1

2

kx02+

1

2

mv2…③
由②③解得：v=

(v0′)2- T2 km

…④
此后細(xì)繩被拉斷，木板與滑塊（彈簧）組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)彈簧的壓縮量最大時(shí)，木板和小滑塊具有共同速度，設(shè)共同速度為V
有 mv=（m+M）V…⑤
由④⑤解得：V=

m

M+m

(v0′)2- T2 km

…⑥
（3）木板與小滑塊通過(guò)彈簧作用完畢時(shí)，小滑塊相對(duì)地面的速度應(yīng)為0，設(shè)此時(shí)木板的速度為V₁，并設(shè)小滑塊壓縮彈簧前的速度為v₀'，繩斷瞬間小滑塊的速度為 v，則有 mv=MV₁ …⑦
 

1

2

m(v0′)2=

1

2

MV12…⑧
由④⑦⑧解得小滑塊最后離開(kāi)木板時(shí)，相對(duì)地面速度為零的條件得：v0′=

T

k(m-M)

，且m＞M．
答：（1）小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀是T

1 km

．
（2）彈簧壓縮量最大時(shí)，小滑塊的速度是

m

M+m

(v0′)2- T2 km

；
（3）小滑塊最后離開(kāi)木板時(shí)，相對(duì)地面速度為零的條件是：v0′=

T

k(m-M)

，且m＞M．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)情況，能結(jié)合機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，難度較大．