Question

17．如圖所示，光滑半圓形軌道的半徑為R，水平面粗糙，彈簧自由端D與軌道最低點(diǎn)C之間的距離為4R，一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊自圓軌道中點(diǎn)B由靜止釋放，壓縮彈簧后被彈回到D點(diǎn)恰好靜止．已知小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，重力加速度為g，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)．

（1）求彈簧的最大壓縮量和最大彈性勢(shì)能；
（2）現(xiàn)把D點(diǎn)右側(cè)水平面打磨光滑，且已知彈簧壓縮時(shí)彈性勢(shì)能與壓縮量的二次方成正比．現(xiàn)使小物塊壓縮彈簧，釋放后能通過(guò)半圓形軌道最高點(diǎn)A，求壓縮量至少是多少？
（3）在（2）問(wèn)中，小物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力是多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小物塊從B到壓縮到最右端再返回到D點(diǎn)為研究過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出彈簧的最大壓縮量．從壓縮量最大位置到返回原長(zhǎng)的過(guò)程中，彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出最大彈性勢(shì)能．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出通過(guò)最高點(diǎn)A的最小速度，抓住彈簧壓縮時(shí)彈性勢(shì)能與壓縮量的二次方成正比，從彈簧壓縮的位置到A點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理，求出壓縮量的大�。�
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出小物塊對(duì)軌道的壓力大�。�

解答 解：（1）設(shè)彈簧的最大壓縮量為x，最大彈性勢(shì)能為E_p，對(duì)小物塊，從B到D再壓縮彈簧又被彈回到D的過(guò)程中由動(dòng)能定理有：
mgR-μmg（4R+2x）=0，
解得x=0.5R，
小物塊從壓縮彈簧最短到返回至D，由動(dòng)能定理有：E_p-μmgx=0，
解得E_p=0.1mgR，
（2）設(shè)壓縮量至少為x₁，對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能為E_p1，
則$\frac{{E}_{p1}}{{E}_{p}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}^{2}}$，
小物塊恰能通過(guò)半圓形軌道最高點(diǎn)A，則mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
小物塊從壓縮彈簧到運(yùn)動(dòng)至半圓形軌道最高點(diǎn)A，由動(dòng)能定理有：
${E}_{p1}-μmg4R-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
聯(lián)立解得${x}_{1}=\frac{\sqrt{33}}{2}R$．
（3）設(shè)小滑塊在B處的速度為v_B，由機(jī)械能守恒定律得，
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgR$，
由牛頓第二定律得，${F}_{B}=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}=3mg$，
根據(jù)牛頓第三定律得，小滑塊對(duì)軌道的壓力F_B=3mg．
答：（1）彈簧的最大壓縮量為0.5R，最大彈性勢(shì)能為0.1mgR；
（2）壓縮量至少是$\frac{\sqrt{33}}{2}R$；
（3）小物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力是3mg．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和能量守恒定律，解決本題的關(guān)鍵靈活選取研究的過(guò)程，選用適當(dāng)?shù)囊?guī)律進(jìn)行求解．