Question

5．某興趣小組設計了如圖所示的玩具軌道，它由細圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)．左右兩側的斜直管道PA與PB的傾角、高度、粗糙程度完全相同，管口A、B兩處均用很小的光滑小圓弧管連接（管口處切線豎直），管口到底端的高度H₁=0.4m．中間“8”字型光滑細管道的圓半徑R=10cm（圓半徑比細管的內(nèi)徑大得多），并與兩斜直管道的底端平滑連接．一質(zhì)量m=0.5kg的小滑塊從管口 A的正上方H₂處自由下落，第一次到達最低點P的速度大小為10m/s．此后小滑塊經(jīng)“8”字型和PB管道運動到B處豎直向上飛出，然后又再次落回，如此反復．小滑塊視為質(zhì)點，忽略小滑塊進入管口時因碰撞造成的能量損失，不計空氣阻力，且取g=10m/s2．求：
（1）滑塊第一次由A滑到P的過程中，克服摩擦力做功；
（2）滑塊第一次到達“8”字型管道頂端時對管道的作用力；
（3）滑塊第一次離開管口B后上升的高度；
（4）滑塊能沖出槽口的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）對開始下落到運動到P點的過程中，運用動能定理，求出克服摩擦力做功的大��；
（2）對P到最高點的過程，運用動能定理，求出最高點的速度，結合牛頓第二定律求出滑塊對管道的作用力；
（3）對開始釋放到第一次離開管口上升到最大高度過程，運用動能定理，求出滑塊第一次離開管口B后上升的高度；
（4）根據(jù)能量守恒求出滑塊能沖出槽口的次數(shù)

解答 解：（1）滑塊第一次由A滑到P的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=mg（{H}_{1}+{H}_{2}）-{W}_{1}$
代入數(shù)據(jù)解得：W₁=2J．
（2）根據(jù)動能定理得：$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=-4mgR$
在“8”字型管道的最高點有：$mg+{F}_{N}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
管道對滑塊的彈力大小F_N=455N，方向向下，
滑塊對管道的彈力大小F_N′=455N，方向向上．
（3）滑塊第一次由A到B克服摩擦力做功為：W₂=2W₁=4J，
根據(jù)mg（H₂-h）=W₂得上升的高度為：h=4.2m．
（4）滑塊能沖出槽口的次數(shù)為$n=\frac{mg{H}_{2}}{{W}_{2}}=6.25$次，
所以滑塊能離開槽口的次數(shù)為6次．
答：（1）滑塊第一次由A滑到P的過程中，克服摩擦力做功為2J；
（2）滑塊第一次到達“8”字型管道頂端時對管道的作用力為455N，方向向上；
（3）滑塊第一次離開管口B后上升的高度為4.2m；
（4）滑塊能沖出槽口的次數(shù)為6次．

點評 本題考查了動能定理和牛頓第二定律的綜合運用，運用動能定理解題，關鍵確定好研究的過程，分析過程中有哪些力做功，然后根據(jù)動能定理列式求解