Question

在如圖所示的xoy坐標系中，僅在x軸上方有垂直于xoy平面向里、范圍足夠大的勻強磁場Ⅰ．質(zhì)量為m，電荷量為q的負粒子在xoy平面內(nèi)運動，某時刻經(jīng)過y軸上y=a的P點，速度方向與y軸正方向夾角為θ=30°，經(jīng)過時間t₀粒子第一次經(jīng)過x軸，速度方向與粒子在P點速度方向相反，不計重力．
（1）求粒子運動的速率v₀和磁場Ⅰ的磁感應(yīng)強度B₁；
（2）若粒子經(jīng)過P點時，在x軸上方再疊加一個方向垂直于xoy平面的勻強磁場Ⅱ，使粒子能在磁場中做完整的圓周運動，求勻強磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強度B₂的大小和方向；
（3）若粒子經(jīng)過P點時，加一方向在xoy平面內(nèi)的勻強電場，粒子在復(fù)合場中運動時經(jīng)過了A（2x₀，y_A）、C（x₀，y_C）兩點，如圖所示，粒子在A點的動能是P點動能的

1

3

，在C點的動能是P點動能的

2

3

，求電場強度E的大小和方向．

Answer 1

（1）粒子在磁場中運動半周，v₀t₀=πr，
圓周運動的半徑r=

a

2

sinθ=a，
解得：v0=

πa

t0

又t₀=

1

2

T=

2πm

qB1

，
解得：B1=

πm

qt0

（2）有兩種情況：
①B₂與B₁同向，粒子順時針轉(zhuǎn)動，若最大半徑為r₁，對應(yīng)的（B₁+B₂）最小，
這時qv0(B1+B2)=m

v 20

r1

r₁+r₁sin30°=a，
所以r₁=

2a

3

解得：B2=

πm

2qt0

所以當B₂方向垂直xoy平面向里時，應(yīng)滿足B2≥

πm

2qt0

（B2＞

πm

2qt0

亦可）
②B₂與B₁反向，粒子逆時針轉(zhuǎn)動的半徑最大（設(shè)為r₂）時，對應(yīng)的（B₂-B₁）最小，
這時qv0(B2-B1)=m

v 20

r2

r₂-r₂sin30°=a，
解得：B22=

3πm

2qt0

所以B₂方向垂直xoy平面向外時，應(yīng)滿足B2≥

3πm

2qt0

（B2＞

3πm

2qt0

亦可）
（3）粒子從P點到A點，-qUPA=

1

3

EkA-EkP
粒子從P點到A點，-qUPC=

2

3

EkP-EkP
解得：UPA=

π2ma2

3q t 20

=2UPC
即φ_P-φ_A=2（φ_P-φ_C），
所以：φC=

φA+φP

2

所以C點電勢與PA連線中點D等電勢，
故電場方向沿+x方向，場強大小為：E=

UPA

2x0

=

π2ma2

6qx0 t 20

；
答：（1）粒子運動的速率v₀為

πa

t0

磁場Ⅰ的磁感應(yīng)強度B₁為

πm

qt0

；
（2）若B₂與B₁同向，勻強磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強度B₂的大小B2≥

πm

2qt0

；若B₂與B₁反向，勻強磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強度B₂的大小B2＞

πm

2qt0

；
（3）電場強度E的大小為

π2ma2

6qx0t02

，方向沿+x方向．