Question

圖中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為V；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向平行于板面并垂直于紙面朝里，圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里，假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射人金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)重力。
（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；
（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為3/4a，求離子乙的質(zhì)量；
（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)。

Answer 1

解：（1）由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它所受到的向上的磁場(chǎng)力和向下的電場(chǎng)力平衡，有qvB₀=qE₀ ①
式中，v₀是離子運(yùn)動(dòng)的速度，E₀是平行金屬板之間的勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度，有
  ②
由①②式得  ③
在正三角形磁場(chǎng)區(qū)域，離子甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)離子甲質(zhì)量為m，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有
  ④
式中，r是離子甲做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，離子甲在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓，圓心為O；這半圓剛好與EG邊相切于K點(diǎn)，與EF邊交于I'點(diǎn)。在△EOK中，OK垂直于EG

由幾何關(guān)系得  ⑤
由⑤式得  ⑥
聯(lián)立③④⑥式得，離子甲的質(zhì)量為  ⑦
（2）同理，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有  ⑧
式中，m'和r'分別為離子乙的質(zhì)量和做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。離子乙運(yùn)動(dòng)的圓周的圓心O'必在E、H兩點(diǎn)之間

由幾何關(guān)系有  ⑨
由⑨式得  ⑩
聯(lián)立③⑧⑩式得，離子乙的質(zhì)量為 
（3）對(duì)于最輕的離子，其質(zhì)量為m/2。由④式知，它在磁場(chǎng)中做半徑為r/2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而與EH的交點(diǎn)為O，有
 
當(dāng)這些離子中的離子質(zhì)量逐漸增大到m時(shí)，離子到達(dá)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)的位置從O點(diǎn)沿HE邊變到I'點(diǎn)；當(dāng)離子質(zhì)量繼續(xù)增大時(shí)，離子到達(dá)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)的位置從K點(diǎn)沿EG邊趨向于I點(diǎn)。K點(diǎn)到G點(diǎn)的距離為
 
所以，磁場(chǎng)邊界上可能有離子到達(dá)的區(qū)域是：EF邊上從O到I'，EG邊上從K到I