Question

3．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M長為L的圓管豎直放置，頂端塞有一個(gè)質(zhì)量為m的彈性小球，M=5m，球和管間的滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力大小均為5mg．管從下端離地面距離為H處自由落下，運(yùn)動(dòng)過程中，管始終保持豎直，每次落地后向上彈起的速度與落地時(shí)速度大小相等，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）管第一次落地彈起時(shí)管和球的加速度；
（2）管第一次落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時(shí)，管的下端距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度．
（2）管自由下落，根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)管上升的加速度，以及相對加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間和管從碰地到與球相對靜止所需的時(shí)間，比較兩個(gè)時(shí)間知道球與管的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出管上升的最大高度．

解答 解：（1）管第一次落地彈起時(shí)，管的加速度為：a₁=$\frac{5mg+f}{M}$=$\frac{5mg+5mg}{5m}$=2g，方向向下
球的加速度為：a₂=$\frac{f-mg}{m}$=$\frac{5mg-mg}{m}$=4g，方向向上．
（2）取豎直向下為正方向．球與管第一次碰地時(shí)速度 v₀=$\sqrt{2gH}$，方向向下．
碰地后管的速度大小 v₁=$\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度v₂=$\sqrt{2gH}$，方向向下
若球剛好沒有從管中滑出，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₁，球管速度v相同，
則有-v₁+a₁t₁=v₂-a₂t₁
解得 t₁=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2gH}}{4g+2g}$=$\frac{\sqrt{2gH}}{3g}$
又管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間t₂，則：t₂=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2gH}}{2g}$
因?yàn)閠₁＜t₂，說明管在達(dá)到最高點(diǎn)前，球與管相對靜止，故管從彈起經(jīng)t₁這段時(shí)間上升的高度為所求．得：
h₁=v₁t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\sqrt{2gH}$•$\frac{\sqrt{2gH}}{3g}$-$\frac{1}{2}•2g•（\frac{\sqrt{2gH}}{3g}）^{2}$=$\frac{4}{9}$H
答：（1）管第一次落地彈起時(shí)管和球的加速度分別為2g方向豎直向下和4g方向豎直向上；
（2）管第一次落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時(shí)，管的下端距地面的高度為$\frac{4}{9}$H．

點(diǎn)評 本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動(dòng)情況難于判斷，關(guān)鍵通過計(jì)算理清球和管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分析管和球之間的關(guān)系，如位移關(guān)系、速度關(guān)系，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．