Question

3．圖中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為V；兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向平行于板面并垂直于紙面朝里．圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里．假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場區(qū)域．不計(jì)重力．已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及離子甲的質(zhì)量．

Answer 1

分析 粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，粒子處于受力平衡狀態(tài)，所以電場力和磁場力大小相等，進(jìn)入磁場后粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以解題．

解答 解：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它所受到的向上的磁場力和向下的電場力平衡，
由平衡條件得：qvB₀=qE₀ ①
平行金屬板之間的勻強(qiáng)電場的強(qiáng)度：E₀=$\frac{V}3ptxj5h$  ②
由①②式解得：v=$\frac{V}{{B}_{0}d}$   ③
在正三角形磁場區(qū)域，離子甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)離子甲質(zhì)量為m，
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  ④
離子甲在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓，圓心為O：這半圓剛好與EG邊相切于K，與EF邊交于P點(diǎn)．在△EOK中，OK垂直于EG，
由幾何關(guān)系得：$\frac{1}{2}$a-r=$\frac{2}{\sqrt{3}}$r  ⑤
由⑤式解得：r=（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）a  ⑥
聯(lián)立③④⑥式得，離子甲的質(zhì)量為：m=$\frac{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）qaB{B}_{0}d}{V}$；
答：離子甲做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）a，及離子甲的質(zhì)量為：$\frac{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）qaB{B}_{0}d}{V}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．