Question

如圖8-1所示，質量為m=0.4kg的滑塊，在水平外力F作用下，在光滑水平面上從A點由靜止開始向B點運動，到達B點時外力F突然撤去，滑塊隨即沖上半徑為 R=0.4米的1/4光滑圓弧面小車，小車立即沿光滑水平面PQ運動。設：開始時平面AB與圓弧CD相切，A、B、C三點在同一水平線上，令AB連線為X軸，且AB=d=0.64m，滑塊在AB面上運動時，其動量隨位移的變化關系為P=1.6kgm/s，小車質量M=3.6kg，不計能量損失。求：

(1)滑塊受水平推力F為多大? (2)滑塊通過C點時，圓弧C點受到壓力為多大? (3)滑塊到達D點時，小車速度為多大? (4)滑塊能否第二次通過C點? 若滑塊第二次通過C點時，小車與滑塊的速度分別為多大? (5)滑塊從D點滑出再返回D點這一過程中，小車移動距離為多少? (g取10m/s²)

Answer 1

 分析與解：(1)由P=1.6=mv，代入x=0.64m，可得滑塊到B點速度為：

　　　　　 V_B=1.6/m=1.6=3.2m/s

　　　　 A→B，由動能定理得：FS=mVB²

 所以 F=mVB²/(2S)=0.4X3.2²/(2X0.64)=3.2N

(2)滑塊滑上C立即做圓周運動，由牛頓第二定律得：

　　　　　 N-mg=mVC²/R 而VC=VB 則　　　　 N=mg+mVC²/R=0.4X10+0.4X3.2²/0.4=14.2N

(3)滑塊由C→D的過程中，滑塊和小車組成系統(tǒng)在水平方向動量守恒，由于滑塊始終緊貼著小車一起運動，在D點時，滑塊和小車具有相同的水平速度V_DX 。由動量守恒定律得：mV_C=(M+m)V_DX

所以 V_DX=mV_C/(M+m)=0.4X3.2/(3.6+0.4)=0.32m/s

(4)滑塊一定能再次通過C點。因為滑塊到達D點時，除與小車有相同的水平速度V_DX外，還具有豎直向上的分速度V_DY，因此滑塊以后將脫離小車相對于小車做豎直上拋運動(相對地面做斜上拋運動)。因題中說明無能量損失，可知滑塊在離車后一段時間內，始終處于D點的正上方(因兩者在水平方向不受力作用，水平方向分運動為勻速運動，具有相同水平速度)， 所以滑塊返回時必重新落在小車的D點上，然后再圓孤下滑，最后由C點離開小車，做平拋運動落到地面上。由機械能守恒定律得：

　　　　　　mV_C²=mgR+(M+m)V_DX²+mV_DY²

所以

以滑塊、小車為系統(tǒng)，以滑塊滑上C點為初態(tài)，滑塊第二次滑到C點時為末態(tài)，此過程中系統(tǒng)水平方向動量守恒，系統(tǒng)機械能守恒(注意：對滑塊來說，此過程中彈力與速度不垂直，彈力做功，機械能不守恒)得：

　　　 mV_C=mV_C‘+MV 即mV_C²=mV_C’²+MV²

上式中VC‘、V分別為滑塊返回C點時，滑塊與小車的速度，

　 　 　V=2mV_C/(M+m)=2X0.4X3.2/(3.6+0.4)=0.64m/s

　　　 V_C’=(m-M)V_C/(m+M)=(0.4-3.6)X3.2/(0.4+3.6)=-2.56m/s(與V反向)

(5)滑塊離D到返回D這一過程中，小車做勻速直線運動，前進距離為：

　　　 △S=V_DX2V_DY/g=0.32X2X1.1/10=0.07m