Question

13．如圖所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的長方形區(qū)域中有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于xOy平面向外．O處有一粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)的第一象限內(nèi)．已知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$，最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{4}$，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則（　�。�

• A． 粒子射入磁場的速率v=$\frac{2qBa}{m}$
• B． 粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=2a
• C． 長方形區(qū)域的邊長滿足關(guān)系$\frac{a}$=$\sqrt{3}$+1
• D． 長方形區(qū)域的邊長滿足關(guān)系$\frac{a}$=2

Answer 1

分析 由最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$求得粒子半徑，再根據(jù)半徑求得速率；并由最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{4}$求得磁場區(qū)域邊長關(guān)系．

解答 解：粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，則有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}$；
B、粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相等，所以，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的弦長越長，則其對應(yīng)的中心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長；
最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$，則其對應(yīng)的弦長最短，即出射點(diǎn)的x坐標(biāo)最小，則粒子入射速度為y軸正方向；
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{T}{12}$，則其對應(yīng)的中心角為30°，則如圖所示，，所以，$R=\frac{a}{sin30°}=2a$，故B正確；
A、由$R=\frac{mv}{Bq}=2a$可得：$v=\frac{2qBa}{m}$，故A正確；
CD、最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{4}$，對應(yīng)于最大中心角為90°，弦長為$2\sqrt{2}a$；
若b較小，粒子可以從右上頂點(diǎn)射出，則此時(shí)有${a}^{2}+^{2}=（2\sqrt{2}a）^{2}$，所以，$b=\sqrt{7}a$；
若b較大，最后飛出的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與上邊界相切，如圖所示，，從O點(diǎn)到與上邊界相切時(shí)轉(zhuǎn)過了60°，所以，粒子出射點(diǎn)在右邊界，不在x軸上，再由幾何關(guān)系可知：$b=（\sqrt{3}+1）a$，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：ABC．

點(diǎn)評 在半徑相同的圓弧上，弦長越長，其對應(yīng)的中心角越大．在帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題中，常根據(jù)此求得臨界條件進(jìn)而得到半徑．