Question

有一個(gè)演示實(shí)驗(yàn)，在上下面都是金屬板的玻璃盒內(nèi)，放了許多錫箔紙揉成的小球，當(dāng)上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動．現(xiàn)取以下簡化模型進(jìn)行定量研究．如圖所示，電容量為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電動勢為E、內(nèi)阻可不計(jì)的電源相連．設(shè)兩板之間只有一個(gè)質(zhì)量為m的導(dǎo)電小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球與極板每次發(fā)生碰撞后，速度都立即變?yōu)榱悖瑤щ姞顟B(tài)也立即改變，改變后，小球所帶電荷性質(zhì)與該極板電荷性質(zhì)相同，電量為極板電量的n倍（n＜＜1），不計(jì)帶電小球帶電對極板間勻強(qiáng)電場的影響．重力加速度為g
（1）當(dāng)電鍵S閉合后，電容器所帶的電量Q=？
（2）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運(yùn)動，電動勢E至少應(yīng)大于多少？
（3）設(shè)上述條件已滿足，在較長的時(shí)間間隔t內(nèi)，小球做了很多次往返運(yùn)動．求在t時(shí)間內(nèi)小球往返運(yùn)動的次數(shù)以及通過電源的總電量．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，電容器兩板間的電壓等于電源電動勢，由電容的定義式C=

Q

U

求解電容器所帶的電量Q；
（2）由題意可知電場力與重力間的關(guān)系，再由電容器的電容公式可求得電量的表達(dá)式，即可求得電動勢；
（3）球與極板碰后均做勻變速直線運(yùn)動，則動力學(xué)公式可分別求得小球與上下極板各碰一次之后的運(yùn)動時(shí)間，則可求得小球往返一次所用的時(shí)間；即可求得Ts內(nèi)往返的次數(shù)；

解答：解：（1）當(dāng)電鍵S閉合后，電容器的電壓U=E．由C=

Q

U

 解得Q=EC…①
（2）用q表示碰后小球電荷量的大�。�要使小球能不停地往返運(yùn)動，小球所受的向上的電場力至少應(yīng)大于重力，則
  q

E

d

＞mg…②，其中q=nQ…③
由①、②、③三式解得：E＞

mgd nC

（3）當(dāng)小球帶正電時(shí)，小球所受電場力與重力方向相同，向下做加速運(yùn)動．以a₁表示其加速度，t₁表示從A板到B板所用的時(shí)間，則有：
 q

E

d

+mg=ma₁，d=

1

2

a₁t₁²，解得：t₁=

2md2 nCE2+mgd

當(dāng)小球帶負(fù)電時(shí)，小球所受電場力與重力方向相反，向上做加速運(yùn)動，以a₂表示其加速度，t₂表示從B板到A板所用的時(shí)間，則有：
  q

E

d

-mg=ma₂，d=

1

2

a₂t₂²，解得：t₂=

2md2 nCE2-mgd

小球往返一次共用時(shí)間為（t₁+t₂），故小球在t時(shí)間內(nèi)往返的次數(shù)N=

t

t1+t2

，
由以上關(guān)系式得N=

t

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

小球往返一次通過的電量為2q，在T時(shí)間內(nèi)通過電源的總電量Q'=2qN，由以上兩式可得Q′=

2nCEt

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

．
答：（1）當(dāng)電鍵S閉合后，電容器所帶的電量Q=EC．
（2）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運(yùn)動，電動勢E至少應(yīng)大于

mgd nC

．
（3）在t時(shí)間內(nèi)小球往返運(yùn)動的次數(shù)是

t

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

，通過電源的總電量是

2nCEt

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)在于明確題意，要求學(xué)生能夠從題干中找出物體運(yùn)動的情景，并能聯(lián)系所學(xué)規(guī)律進(jìn)行解題；對學(xué)生要求較高．