Question

14．為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個與水平方向夾角為θ=53°，長為L₁=7.5m的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與足夠長的光滑水平軌道BC相連，然后在C處連接一個豎直的光滑圓軌道．如圖所示．高為h=0.8m光滑的平臺上有一根輕質(zhì)彈簧，一端被固定在左面的墻上，另一端通過一個可視為質(zhì)點的質(zhì)量m=1kg的小球緊壓彈簧，現(xiàn)由靜止釋放小球，物塊離開臺面時已離開彈簧，到達A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知小物塊與AB間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5．g取10m/s²，sin53°=0.8．求：
（1）彈簧被壓縮時的彈性勢能；
（2）小球到達C點時速度v_C的大小；
（3）小球浸入圓軌道后，要使小球不脫離軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球在A點的速度方向，由平拋運動規(guī)律根據(jù)豎直高度得到豎直分速度，從而得到離開平臺時的速度，然后對小球在平臺上的運動應(yīng)用動能定理即可求解；
（2）對小球從A到C應(yīng)用動能定理求解；
（3）通過小球不脫離軌道得到小球的運動狀況，然后應(yīng)用機械能守恒求解．

解答 解：（1）小球離開臺面到達A點的過程做平拋運動，故有：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tanθ}=\frac{\sqrt{2gh}}{tanθ}=3m/s$，
小球在平臺上運動，只有彈簧彈力做功，故由動能定理可得：彈簧被壓縮時的彈性勢能為：${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=4.5J$；
（2）小球在A處的速度為：${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=5m/s$；小球從A到C的運動過程只有重力、摩擦力做功，故由動能定理可得：
$mg{L}_{1}sinθ-μmg{L}_{1}cosθ=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2g{L}_{1}（sinθ-μcosθ）}=10m/s$；
（3）小球進入圓軌道后，要使小球不脫離軌道，即小球能通過圓軌道最高點，或小球能在圓軌道上到達的最大高度小于半徑；
那么對小球能通過最高點時，在最高點應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$；
對小球從C到最高點應(yīng)用機械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$
解得：$0＜R≤\frac{{{v}_{C}}^{2}}{5g}=2m$；
對小球能在圓軌道上到達的最大高度小于半徑的情況應(yīng)用機械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgh≤mgR$
解得：$R≥\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2g}=5m$；
故小球進入圓軌道后，要使小球不脫離軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R≥5m或0＜R≤2m；
答：（1）彈簧被壓縮時的彈性勢能為4.5J；
（2）小球到達C點時速度v_C的大小為10m/s；
（3）小球進入圓軌道后，要使小球不脫離軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R≥5m或0＜R≤2m．

點評 經(jīng)典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．