Question

如圖所示，摩托車做騰躍特技表演，以1.0m/s的初速度沿曲面沖上高0.8m、頂部水平的高臺(tái)，若摩托車沖上高臺(tái)的過程中始終以額定功率1.8kW行駛，經(jīng)過1.2s到達(dá)頂部平臺(tái)，接著離開平臺(tái)，落至地面時(shí)，恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑．A、B為圓弧兩端點(diǎn)，其連線水平．已知圓弧半徑為R=1.0m，人和車的總質(zhì)量為180kg，特技表演的全過程中，阻力做功忽略不計(jì)．（計(jì)算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）人和車到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)的速度v．
（2）從平臺(tái)飛出到A點(diǎn)，人和車運(yùn)動(dòng)的水平距離s．
（3）圓弧對(duì)應(yīng)圓心角θ．
（4）人和車運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析：對(duì)摩托車的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，運(yùn)用動(dòng)能定理研究開始到頂部平臺(tái)過程，可求出人和車到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)的速度v．
從平臺(tái)飛出到A點(diǎn)，這是一段平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解水平距離s．
對(duì)平拋的末速度進(jìn)行分解，利用幾何關(guān)系求出圓弧對(duì)應(yīng)圓心角θ．
再次運(yùn)用動(dòng)能定理研究平臺(tái)到O點(diǎn)，求出O點(diǎn)速度，運(yùn)用牛頓第二定律求出人和車運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力．

解答：解：（1）運(yùn)用動(dòng)能定理研究開始到頂部平臺(tái)過程可知：
pt₁-mgH=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
解得：v=3m/s
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：
H=

1

2

gt₂²，s=vt₂
帶入數(shù)據(jù)得：s=1.2m．
（3）摩托車恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，落至A點(diǎn)時(shí)，其豎直方向的分速度
v_y=gt₂=4m/s．
設(shè)摩托車落地時(shí)速度方向與水平方向的夾角為α，則
tanα=

vy

v

=

4

3

，即α=53°
所以θ=2α=106°
（4）在摩托車由最高點(diǎn)飛出落至O點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理可得：mgH+mgR（1-cosα）=

1

2

mv′²-

1

2

mv²
在O點(diǎn)對(duì)其受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律得：N-mg=

mv′2

R

，
代入數(shù)據(jù)解出：N=7740N．
由牛頓第三定律可知，人和車在最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力為7740N．
答：（1）人和車到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)的速度v是3m/s．
（2）從平臺(tái)飛出到A點(diǎn)，人和車運(yùn)動(dòng)的水平距離s為1.2m．
（3）圓弧對(duì)應(yīng)圓心角θ為106°．
（4）人和車運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力為7740N．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．
對(duì)于不規(guī)則的曲線運(yùn)動(dòng)求速度，我們應(yīng)該想到動(dòng)能定理去求解．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的分析，作為基礎(chǔ)知識(shí)我們應(yīng)該掌握．