Question

14．平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的勻強(qiáng)磁場，第Ⅲ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，如圖所示．一帶負(fù)電的粒子從電場中的Q點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為到x軸距離的2倍．粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O離開電場進(jìn)入磁場，最終從x軸上的P點(diǎn)射出磁場，P點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與Q點(diǎn)到y(tǒng)軸距離相等．不計(jì)粒子重力，為：
（1）粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小之比．

Answer 1

分析 （1）在電場中，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)x軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和y方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)列方程求解；
（2）粒子在電場中受到的電場力時(shí)由牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)速度位移關(guān)系求解電場強(qiáng)度；根據(jù)粒子所受的洛倫茲力提供向心力得到半徑計(jì)算公式，再根據(jù)則由幾何關(guān)系得到半徑大小，由此求解磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，然后求解比值．

解答 解：（1）在電場中，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)Q點(diǎn)到x軸的距離為L，到y(tǒng)軸的距離為2L，粒子的加速度為a，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，有
沿x軸正方向：2L=v₀t，①
豎直方向根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間關(guān)系可得：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$  ②
設(shè)粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)沿y軸方向的分速度為v_y
根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系可得：v_y=at ③
設(shè)粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸方向的夾角為α，有tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$ ④
聯(lián)立①②③④式得：α=45°      ⑤
即粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸方向的夾角為45°角斜向上．
設(shè)粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，由運(yùn)動(dòng)的合成有
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）設(shè)電場強(qiáng)度為E，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，粒子在電場中受到的電場力為F，
由牛頓第二定律可得：qE=ma        ⑧
由于${v}_{y}^{2}=2aL$ 
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$  ⑨
設(shè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，所受的洛倫茲力提供向心力，有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ⑩

由于P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為2L，則由幾何關(guān)系可知R=$\sqrt{2}L$ 
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$⑪
聯(lián)立⑨⑪式得$\frac{E}{B}=\frac{{v}_{0}}{2}$．
答：（1）粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向x軸方向的夾角為45°角斜向上．
（2）電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小之比為$\frac{{v}_{0}}{2}$．

點(diǎn)評 有關(guān)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動(dòng)，可以根據(jù)帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定帶電粒子的速度；
對于帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對應(yīng)的圓心角求時(shí)間．