Question

4．如圖示，質(zhì)量m=lkg的彈性小球A在長(zhǎng)為l=0.9m的細(xì)輕繩牽引下繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的最高點(diǎn)為P．小球A在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于該空間存在某種特殊物質(zhì)，使得小球A在豎直平面內(nèi)每轉(zhuǎn)動(dòng)一周都會(huì)損失一部分動(dòng)能，每次損失的動(dòng)能均為它每次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的19%．水平槽內(nèi)有許多質(zhì)量均為M=5kg的彈性鋼球，水平槽末端有一極小的立柱剛好在P點(diǎn)，鋼球可以靜止在立柱上，現(xiàn)小球在頂點(diǎn)P以v₀=25m/s的初速度向左轉(zhuǎn)動(dòng)，小球A每次轉(zhuǎn)動(dòng)到P點(diǎn)恰好與靜止在此處的小鋼球發(fā)生彈性正碰，鋼球水平飛出做平拋運(yùn)動(dòng)．每次鋼球被小球A碰撞后，槽內(nèi)填充裝置可將下一個(gè)鋼球自動(dòng)填充到P點(diǎn)的立柱且靜止．已知水平槽距水平地面的高度恰好是1.8m，水平槽不會(huì)影響彈性小球A的運(yùn)動(dòng)，小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）第一次碰撞結(jié)束時(shí)彈性小球A和被碰鋼球的速度各為多大；
（2）小球A能碰出去的鋼球個(gè)數(shù)；
（3）第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離．

Answer 1

分析 （1、2）對(duì)小球碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律可求得碰后的速度大小，分析整體過(guò)程，得出通項(xiàng)式從而求得個(gè)數(shù)；
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離．

解答 解：（1）小球第一次轉(zhuǎn)回到頂部碰前狀況，設(shè)其速度為v₁，根據(jù)題意可知，損失部分機(jī)械能，重力勢(shì)能不變，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}×（1-19%）=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}×81%$=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得v₁=0.9v₀．
小球A在頂部與鋼球碰撞，由動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律得：
mv₁=mv₁′+Mv″，
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}′}^{2}+\frac{1}{2}Mv{″}^{2}$
聯(lián)立解得：${v}_{1}′=\frac{m-M}{M+m}{v}_{1}=-15m/s$，負(fù)號(hào)表示與碰前入射速度方向相反，v″=7.5m/s．
同理可得，碰撞n次以后瞬間的速度為v_n'，則：
${v}_{n}′=\frac{m-M}{M+m}{v}_{n}=-（\frac{3}{5}）^{n}{v}_{0}$，負(fù)號(hào)表示與碰前入射速度方向相反，
小球要能與鋼球碰撞則必須能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，所以碰n次后假定再次到達(dá)P位置，其速度一定有：
v_n+1=0.9v_n′$≥\sqrt{gL}$
所以$（\frac{3}{5}）^{n}{v}_{0}≥\sqrt{gL}$
解得：n＜5，由于n是自然數(shù)，所以n=4，小球A可以與4 個(gè)鋼球碰撞；
（3）第一個(gè)鋼球碰后速度：v₁₂=$\frac{m}{M}（{v}_{1}-{v}_{1}′）$=$\frac{1}{5}$×（22.5+15）=7.5m/s；
第4個(gè)鋼球碰撞后速度：v₅₄=$\frac{m}{M}$（v₄-v₄′）=$\frac{1}{50}$×$（\frac{3}{5}）^{4}$v₀=0.0648m/s；
由于兩球是分別朝向左右兩邊做平拋運(yùn)動(dòng)的，所以水平距離是：x=x₁+x₄
平拋時(shí)間是：t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$=$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$s=0.6s
x₁=v₂₁t
x₄=v₅₄t
x=x₁+x₄
解得：x=4.54m
答：（1）第一次碰撞結(jié)束時(shí)彈性小球A和被碰鋼球的速度各為-15m/s、7.5m/s．
（2）小球A能將鋼球碰出去的鋼球個(gè)數(shù)為4個(gè)；
（3）第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離為4.54m

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律等問(wèn)題，要注意正確分析物理過(guò)程，明確物理規(guī)律的正確應(yīng)用．