Question

19．如圖所示，在xOy平面的第Ⅱ第Ⅲ象限存在著兩個(gè)大小不同，方向相反的有界勻強(qiáng)電場，AB和y軸為其左右邊界，兩邊界距離為l=2.4R，第Ⅱ象限場強(qiáng)方向豎直向下，大小E₂，第Ⅲ象限場強(qiáng)方向豎直向上，大小為E₁，在y軸的右側(cè)有一勻強(qiáng)磁場均勻分布在半徑為R的圓內(nèi)，方向垂直紙面向外，其中OO′是圓的半徑，一電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子由AB邊界上的距x軸1.2R處的M點(diǎn)垂直電場以初速度v₀射入，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后垂直y軸上的P點(diǎn)射出，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0.6R），經(jīng)過一段時(shí)間后進(jìn)入磁場區(qū)域，若帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是其在磁場運(yùn)動(dòng)周期的$\frac{1}{4}$，（粒子重力不計(jì)），其中m、+q、v₀、R為已知量，求：
（1）電場強(qiáng)度E₁和E₂的大��；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）帶電粒子從M點(diǎn)射入到偏轉(zhuǎn)出磁場的過程中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在左側(cè)的電場中做的是類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上是勻速運(yùn)動(dòng)，由勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；對y軸正負(fù)方向分別根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得電場強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)粒子在左側(cè)的電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，求得粒子剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度的大小，粒子在y軸右側(cè)在磁場中做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（3）粒子在左側(cè)的電場中做的是類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間．在磁場中，根據(jù)軌跡對應(yīng)的圓心角求解時(shí)間，即可求得總時(shí)間．

解答 解：（1）微粒在電場中運(yùn)動(dòng)過程：
設(shè)微粒在E₁中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，在E₂中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂．
微粒水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)：l=v₀ （t₁+t₂）=2.4R ①
在豎直方向上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則有：
  1.2R=$\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{1}}{m}{t}_{1}^{2}$  ②
  0.6R=$\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{2}}{m}{t}_{2}^{2}$  ③
又 $\frac{q{E}_{1}}{m}{t}_{1}$=$\frac{q{E}_{2}}{m}{t}_{2}$  ④
由②③④解得：t₁=2t₂；⑤
由①⑤解得 t₁=$\frac{1.6R}{{v}_{0}}$  ⑥
          t₂=$\frac{0.8R}{{v}_{0}}$  ⑦
將⑥⑦分別代入②③解得：E₁=$\frac{15m{v}_{0}^{2}}{16qR}$，E₂=$\frac{15m{v}_{0}^{2}}{8qR}$ ⑧
（2）如圖所示，粒子從H點(diǎn)垂直射入勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)了$\frac{1}{4}$圓周，設(shè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，在△HGC中有：
  GC²+HG²=R²；
HG=0.6R，解得 GC=0.8R
在△CKF中，有（r-0.6R）²+（r-0.8R）²=R²；
解得 r=1.4R
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得 B=$\frac{5m{v}_{0}}{7qR}$
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₃=$\frac{1}{4}T$=$\frac{1}{4}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{7πR}{5{v}_{0}}$
故帶電粒子從M點(diǎn)射入到偏轉(zhuǎn)出磁場的過程中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（12+7π）R}{5{v}_{0}}$
答：
（1）電場強(qiáng)度E₁和E₂的大小分別為$\frac{15m{v}_{0}^{2}}{16qR}$和$\frac{15m{v}_{0}^{2}}{8qR}$；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{5m{v}_{0}}{7qR}$；
（3）帶電粒子從M點(diǎn)射入到偏轉(zhuǎn)出磁場的過程中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t是$\frac{（12+7π）R}{5{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．