Question

13．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD光滑，內(nèi)圓的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質(zhì)量為m=0.2kg的小球從外軌道的最低點(diǎn)A處以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，小球的直徑略小于兩圓的間距，小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=0.5m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=4.8m/s，經(jīng)過一段時(shí)間后小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對(duì)小球的支持力F_C=2N，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=4.9m/s，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)受到的支持力為多少？

Answer 1

分析 （1）抓住重力提供向心力求出最高點(diǎn)的最小速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出初速度的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做功的大�。�
（3）經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大�。�

解答 解：（1）設(shè)此情形下小球到達(dá)外軌道的最高點(diǎn)的最小速度為v_C，則由牛頓第二定律可得：
mg=$m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：
${v}_{C}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}$m/s=$\sqrt{5}$m/s，
由動(dòng)能定理可知：
-2mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=5m/s．
（2）設(shè)此時(shí)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_C′，克服摩擦力做的功為W，則由牛頓第二定律可得：
mg-F_C=$m\frac{{v}_{C}{′}^{2}}{R}$，
由動(dòng)能定理可知：
-2mgR-W=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得：
W=0.304 J．
（3）經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球經(jīng)過最低點(diǎn)的速度為v_A，受到的支持力為F_A，則由動(dòng)能定理可知：
mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$-0，
根據(jù)牛頓第二定律可得：
F_A-mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F_A=3mg=6 N．
答：（1）要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為5m/s；
（2）小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是0.304J；
（3）小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)受到的支持力為6N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律綜合求解．