Question

（2011?湖北模擬）如圖所示，在鉛板A上放一個(gè)放射源C，可向各個(gè)方向射出速率為v的β射線，B為金屬網(wǎng)，A、B連接在電路上，電源電動(dòng)勢為E，內(nèi)阻為r，滑動(dòng)變阻器的總阻值為R．圖中滑動(dòng)變阻器滑片置于中點(diǎn)，AB間的間距為d，M為足夠大的熒光屏，M緊挨著金屬網(wǎng)外側(cè)．已知β粒子質(zhì)量為m，電量為e．不計(jì)β射線所形成的電流對電路的影響，求：
（1）閉合開關(guān)S后，AB間場強(qiáng)的大小是多少？
（2）β粒子到達(dá)金屬網(wǎng)B的最長時(shí)間是多少？
（3）切斷開關(guān)S，并撤去金屬B，加上垂直紙面向里、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，設(shè)加上磁場后β粒子仍能到達(dá)熒光屏，這時(shí)在熒光屏上發(fā)亮區(qū)的長度是多少？

Answer 1

分析：（1）由圖可知，板間建立勻強(qiáng)電場，根據(jù)閉合電路歐姆定律求出電路中電流，由歐姆定律求出板間電壓，再由E=

U

d

求出板間場強(qiáng)．
（2）β粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場后，做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，垂直于板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿A板方向射出的β粒子沿板運(yùn)動(dòng)的位移最大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，這個(gè)粒子偏轉(zhuǎn)的距離等于板間距離d，根據(jù)牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解最長的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）當(dāng)撤去電場后β粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿A板方向向上射出的β粒子到達(dá)上邊界最遠(yuǎn)處．當(dāng)β粒子的軌跡與下邊界相切時(shí)，β粒子到達(dá)下邊界最遠(yuǎn)處．根據(jù)牛頓第二定律求出β粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由幾何知識(shí)求解熒光屏上發(fā)亮區(qū)的長度．

解答：解：
（1）由閉合電路歐姆定律得：I=

E

R+r

  U_AB=

IR

2

=

ER

2(R+r)

由E_AB=

UAB

d

=

ER

2(R+r)d

（2）β粒子在兩板間運(yùn)動(dòng)只受電場力作用，
其加速度為a=

F

m

=

eEAB

m

=

eER

2(R+r)dm

分析可知，沿A板方向射出的β粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)B板所用時(shí)間最長．
根據(jù)：d=

1

2

at²   
所以 t=

2d a

=2d

m(R+r) eER

（3）β粒子垂直進(jìn)入磁場只受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：
   evB=

mv2

r′

     
得  r′=

mv

eB

熒光亮斑區(qū)的上邊界就是沿A板射出的β粒子所達(dá)的a點(diǎn)
有：（r′-d）²+

.

ab

2=r′²
解得，l₁=

.

ab

=

d(2r′-d)

=

d( 2mv eB -d)

熒光亮斑區(qū)的下邊界就是β粒子軌跡與屏相切的C點(diǎn)（做軌跡圖）
有：（r′-d）²+

.

bc

2=r′²
解得，l₂=

.

bc

=

d( 2mv eB -d)

在豎直方向上亮斑區(qū)的長度為l=l₁+l₂=2

d(2r′-d)

=2

d( 2mv eB -d)

答：
（1）閉合開關(guān)S后，AB間場強(qiáng)的大小是

ER

2(R+r)d

．
（2）β粒子到達(dá)金屬網(wǎng)B的最長時(shí)間是2d

m(R+r) eER

．
（3）在熒光屏上發(fā)亮區(qū)的長度是2

d( 2mv eB -d)

．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子分別在勻強(qiáng)電場中和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的問題，研究的方法不同：電場中采用運(yùn)動(dòng)的分解法，磁場采用畫軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解．