Question

16．質量為m的小車，靜止在光滑水平地面上，車長為L，現給小車施加一水平向右的恒力F，使小車向右做勻加速運動，與此同時，從小車正前方的A點自由釋放一個小球（可視為質點），A點距地面高為H、與小車右端水平距離為s，如圖所示，若不計小車高度，忽略小球與小車碰撞對小車速度的影響，小車質量遠遠大于小球質量，重力加速度為g．
求：（1）恒力F滿足什么條件可保證小球落到小車上？
（2）在A點有多個可釋放的小球（可視為質點），若前一個小球落到地面時，后一個小球剛好開始下落，當恒力F作用在小車上時第一個小球開始下落，通過調整恒力F和s的大小，能使相鄰的兩個小球恰好落到小車的車頭和車尾，請計算改變后的恒力F和s的大小．

Answer 1

分析 （1）小球自由下落的高度一定，則下落的時間一定，小球落在小車上，則在這段時間內的位移大于s，小于（L+s），根據勻變速直線運動的位移時間公式求出小車加速度的范圍，進而求出恒力范圍．
（2）設第n個小球恰落在車前，第n+1個小球恰好落在車尾，由運動學公式即可判斷

解答 解：
（1）設小球的下落時間為t，
由$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$
欲使小球落在小車上，則在這段時間內小車的位移須s≤x≤L+s
由$s=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$          可得${a}_{1}=\frac{s}{H}g$
由$s+L=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$       可得${a}_{2}=\frac{s+L}{H}g$
根據牛頓第二定律：恒力F滿足$\frac{mgs}{H}≤F≤\frac{mg（s+L）}{H}$
（2）設第n個小球恰落在車前，第n+1個小球恰好落在車尾．
對第n個小球分析：$H=\frac{1}{2}{gt}_{1}^{2}$
對小車分析：$a=\frac{F}{m}$  
$s=\frac{1}{2}a{{n}^{2}t}_{1}^{2}$
同理可得：$s+L=\frac{1}{2}a（n+1{）^{2}t}_{1}^{2}$
聯(lián)立以上各式解得：$s=\frac{{n}^{2}}{2n+1}L$    （n=1，2，3…） 
$F=\frac{mgL}{92n+1）H}$   （n=1，2，3…）
答：（1）恒力F滿足$\frac{mgs}{H}≤F≤\frac{mg（s+L）}{H}$可保證小球落到小車
（2）改變后的恒力F和s的大小分別為$s=\frac{{n}^{2}}{2n+1}L$，$F=\frac{mgL}{92n+1）}H$（n=1，2，3…）

點評 解決本題的關鍵抓住小球下落的時間和小車運動的時間相等，運用勻變速直線運動位移時間公式求加速度的范圍．