Question

【題目】隨著科學(xué)技術(shù)水平的不斷進(jìn)步，相信在不遠(yuǎn)的將來人類能夠?qū)崿F(xiàn)太空移民。為此，科學(xué)家設(shè)計(jì)了一個巨型環(huán)狀管道式空間站�？臻g站繞地球做勻速圓周運(yùn)動，人們生活在空間站的環(huán)形管道中，管道內(nèi)部截面為圓形，直徑可達(dá)幾千米，如圖（a）所示。已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，空間站總質(zhì)量為m，G為引力常量。

（1）空間站圍繞地球做圓周運(yùn)動的軌道半徑為2R，求空間站在軌道上運(yùn)行的線速度大��；

（2）為解決長期太空生活的失重問題，科學(xué)家設(shè)想讓空間站圍繞通過環(huán)心并垂直于圓環(huán)平面的中心軸旋轉(zhuǎn)，使在空間站中生活的人們獲得“人工重力”。該空間站的環(huán)狀管道內(nèi)側(cè)和外側(cè)到轉(zhuǎn)動中心的距離分別為r1、r2，環(huán)形管道壁厚度忽略不計(jì)，如圖（b）所示。若要使人們感受到的“人工重力”與在地球表面上受到的重力一樣（不考慮重力因地理位置不同而產(chǎn)生的差異且可認(rèn)為太空站中心軸靜止），則該空間站的自轉(zhuǎn)周期應(yīng)為多大；

（3）為進(jìn)行某項(xiàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)，空間站需將運(yùn)行軌道進(jìn)行調(diào)整，先從半徑為2R的圓軌道上的A點(diǎn)（近地點(diǎn)）進(jìn)行第一次調(diào)速后進(jìn)人橢圓軌道。當(dāng)空間站經(jīng)過橢圓軌道B點(diǎn)（遠(yuǎn)地點(diǎn)）時，再進(jìn)行第二次調(diào)速后最終進(jìn)人半徑為3R的圓軌道上。若上述過程忽略空間站質(zhì)量變化及自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響，且每次調(diào)速持續(xù)的時間很短。

①請說明空間站在這兩次調(diào)速過程中，速度大小是如何變化的；

②若以無窮遠(yuǎn)為引力勢能零點(diǎn)，空間站與地球間的引力勢能為，式中r表示空間站到地心的距離，求空間站為完成這一變軌過程至少需要消耗多少能量。

Answer 1

【答案】（1）v=；（2）T=2πR；（3）①加速過程；②。

【解析】試題分析：（1）空間站繞地球做圓周運(yùn)動，由萬有引力定律及牛頓運(yùn)動定律有：

， 解得v=；

（2）設(shè)地球表面的物體質(zhì)量為m0，在不考慮地球自轉(zhuǎn)時有：，

當(dāng)人隨空間站一起自轉(zhuǎn)且加速度為g時，可獲得與地球表面相同的“重力”，所以g=,

聯(lián)立各式：T=2πR；

（3）①在A點(diǎn)和B點(diǎn)兩次調(diào)速均是加速過程；

②空間站變軌前的總能量E1=，

空間站變軌后做圓周運(yùn)動，有：，

空間站變軌后的總能量E2=，

變軌過程中消耗的能量△E=E2－E1=