Question

16．如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)，傾角θ=30°的光滑斜面的頂端連接一光滑的半徑為R（圓管的內(nèi)徑遠(yuǎn)小于R）的半圓管PQ，圓管與斜面相切于斜面最高點(diǎn)P，一輕質(zhì)彈簧的下端與固定擋板連接，上端與小球B接觸（不連接），B平衡時，彈簧的壓縮量為R，O點(diǎn)為彈簧的原長位置，OP=2R，在P點(diǎn)由靜止釋放小球A，小球A與B碰后粘在一起形成物體C，C恰好能返回到O點(diǎn)，已知小球A和B完全相同，質(zhì)量均為m，直徑略小于圓管內(nèi)徑，重力加速度為g，求：
（1）A、B碰后瞬間C的速度大小；
（2）A、B碰前彈簧的彈性勢能；
（3）若在P點(diǎn)給A一個沿斜面向下的初速度，A與B碰后粘接成C仍一起向下運(yùn)動，要使C返回后能從半圓管Q端離開，初速度v₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）A與B碰撞前運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出A的速度，碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出C的速度．
（2）應(yīng)用能量守恒定律可以求出彈簧的彈性勢能．
（3）應(yīng)用動能定理求出A、B碰撞前A的速度，碰撞過程動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律與能量守恒定律可以求出A的初速度．

解答 解：（1）A從P點(diǎn)到與B相碰的過程中，設(shè)A、B碰前A速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律得：
mg•3Rsinθ=$\frac{1}{2}$mv₁²…①
A、B碰撞過程中，動量守恒，以A的初速度方向為正方向，設(shè)C的初速度大小為v₂，由動量守恒定律得：
mv₁=2mv₂…②
由①②解得：v₂=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$…③
（2）從C開始向下運(yùn)動到O點(diǎn)速度為零，由能量守恒定律得：
E_P+$\frac{1}{2}$•2mv₂²=2mgRsinθ…④
由③④解得：E_P=$\frac{1}{4}$mgR…⑤
（3）第二次，A從P點(diǎn)到與B相碰的過程中，設(shè)A、B碰前A的速度為v₃．
由動能定理得：mg•3Rsinθ=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑥
A、B碰撞過程中，動量守恒，以A的初速度方向為正方向，
設(shè)C的初速度大小為v₄，由動量守恒定律得：mv₃=2mv₄…⑦
C從向下運(yùn)動到圓管的最高點(diǎn)（不是Q點(diǎn)）速度為零，由彈簧和C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：E_P+$\frac{1}{2}$•2mv₄²=2mgRsinθ，…⑧
由以上得：v₀=2$\sqrt{（4+\sqrt{3}）gR}$…⑨
所以小球A的初速度應(yīng)滿足：v₀≥2$\sqrt{（4+\sqrt{3}）gR}$…⑩
答：（1）A、B碰后瞬間C的速度大小為$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$；
（2）A、B碰前彈簧的彈性勢能為$\frac{1}{4}$mgR；
（3）初速度v₀應(yīng)滿足的條件是：v₀≥2$\sqrt{（4+\sqrt{3}）gR}$．

點(diǎn)評 本題是一道力學(xué)綜合題，物體運(yùn)動過程復(fù)雜，難度較大，分析清楚物體運(yùn)動過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動能定理、機(jī)械能定律、動量守恒定律、能量守恒定律即可解題．