Question

5．一長(zhǎng)木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物塊；在木板右方有一墻壁，木板右端與墻壁的距離為4.5m，如圖（a）所示．t=0時(shí)刻開(kāi)始，小物塊與木板一起以共同速度向右運(yùn)動(dòng)，直至t=1s時(shí)木板與墻壁碰撞（碰撞時(shí)間極短）．碰撞前后木板速度大小不變，方向相反；運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊始終未離開(kāi)木板．已知碰撞后1s時(shí)間內(nèi)小物塊的v-t圖線如圖（b）所示．木板的質(zhì)量是小物塊質(zhì)量的15倍，重力加速度大小g取10m/s²．求
（1）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁及小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂；
（2）木板的最小長(zhǎng)度；
（3）木板右端離墻壁的最終距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)碰前過(guò)程由牛頓第二定律時(shí)進(jìn)行分析，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得μ₁；再對(duì)碰后過(guò)程分析同理可求得μ₂．
（2）分別對(duì)木板和物塊進(jìn)行分析，由牛頓第二定律求解加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解位移，則可求得相對(duì)位移，即可求得木板的長(zhǎng)度；
（3）對(duì)木板和物塊達(dá)相同靜止后的過(guò)程進(jìn)行分析，由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立可求得位移；則可求得木板最終的距離．

解答 解：（1）規(guī)定向右為正方向．木板與墻壁相碰前，小物塊和木板一起向右做勻變速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₁，小物塊和木板的質(zhì)量分別為m和M．由牛頓第二定律有：-μ₁（m+M）g=（m+M）a₁…①
由圖可知，木板與墻壁碰前瞬間速度v₁=4m/s，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
v₁=v₀+at₁… ②
${s_0}={v_0}{t_1}+\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$…③
式中，t₁=1s，s₀=4.5m是木板碰前的位移，v₀是小木塊和木板開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度．
聯(lián)立①②③式和題給條件得：μ₁=0.1…④
在木板與墻壁碰撞后，木板以-v₁的初速度向左做勻變速運(yùn)動(dòng)，小物塊以v₁的初速度向右做勻變速運(yùn)動(dòng)．設(shè)小物塊的加速度為a₂，由牛頓第二定律有：-μ₂mg=ma₂ …⑤
由圖可得：${a_2}=\frac{{{v_2}-{v_1}}}{{{t_2}-{t_1}}}$…⑥
式中，t₂=2s，v₂=0，聯(lián)立⑤⑥式和題給條件得：μ₂=0.4…⑦
（2）設(shè)碰撞后木板的加速度為a₃，經(jīng)過(guò)時(shí)間△t，木板和小物塊剛好具有共同速度v₃．由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：μ₂mg+μ₁（M+m）g=Ma₃ …⑧
v₃=-v₁+a₃△t…⑨
v₃=v₁+a₂△t…⑩
碰撞后至木板和小物塊剛好達(dá)到共同速度的過(guò)程中，木板運(yùn)動(dòng)的位移為：${s_1}=\frac{{-{v_1}+{v_3}}}{2}△t$…（11）
小物塊運(yùn)動(dòng)的位移為：${s_2}=\frac{{{v_1}+{v_3}}}{2}△t$…（12）
小物塊相對(duì)木板的位移為：△s=s₂-s₁…（13）
聯(lián)立⑥⑧⑨⑩（11）（12）（13）式，并代入數(shù)值得：△s=6.0m
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊沒(méi)有脫離木板，所以木板的最小長(zhǎng)度應(yīng)為6.0m．（14）
（3）在小物塊和木板具有共同速度后，兩者向左做勻變速運(yùn)動(dòng)直至停止，設(shè)加速度為a₄，此過(guò)程中小物塊和木板運(yùn)動(dòng)的位移s₃．由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：μ₁（m+M）g=（m+M）a₄…（15）
 $0-v_3^2=2{a_4}{s_3}$…（16）
碰后木板運(yùn)動(dòng)的位移為：s=s₁+s₃ …（17）
聯(lián)立⑥⑧⑨⑩（11）（15）（16）（17）式，并代入數(shù)值得：s=-6.5m…（18）
木板右端離墻壁的最終距離為6.5m．
答：（1）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁及小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂分別為0.1和0.4．
（2）木板的最小長(zhǎng)度是6.0m；
（3）木板右端離墻壁的最終距離是6.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用，涉及兩個(gè)物體多個(gè)過(guò)程，題目中問(wèn)題較多，但只要認(rèn)真分析，一步步進(jìn)行解析，是完全可以求解．