Question

12．如圖所示，固定在地面上的光滑軌道AB、CD均是半徑為R的四分之一圓�。�一質(zhì)量為m、上表面長也為R的小車靜止在光滑水平面EF上，小車上表面與軌道AB、CD的末端B、C相切．一質(zhì)量為m的物體（大小不計(jì)）從軌道AB的A點(diǎn)由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)小車右端與壁CF接觸前的瞬間，物體m恰好滑動(dòng)到小車右端相對(duì)于小車靜止，同時(shí)小車與CF相碰后立即停止運(yùn)動(dòng)但不粘連，物體則繼續(xù)滑上軌道CD．求：
（1）物體滑上軌道CD前的瞬間的速率；
（2）水平面EF的長度；
（3）當(dāng)物體再從軌道CD滑下并滑上小車后，如果小車與壁BE相碰后速度也立即變?yōu)榱�，最后物體m停在小車上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車右端多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物體從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)時(shí)的速率，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出滑上EF前的瞬時(shí)速率．
（2）對(duì)物體運(yùn)用動(dòng)能定理、對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用能量守恒定律，聯(lián)立求出水平面EF的長度．
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出AB的共同速度，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用能量守恒定律求出兩者速度相同時(shí)，之間的相對(duì)距離，小車停止后，物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)動(dòng)能定理求出勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移，從而得出最終物體在小車上滑行的距離．

解答 解：（1）設(shè)物體從A滑至B時(shí)速率為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$，
物體與小車相互作用過程中，設(shè)共同速度為v₁，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=2mv₁，
解得，物體滑上軌道CD前瞬間的速率：v₁=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）設(shè)二者之間的摩擦力為f，根據(jù)動(dòng)能定理，
對(duì)物體有：-fs_EF=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
對(duì)小車有：f（s_EF-R）=$\frac{1}{2}$mv²₁，
解得：f=$\frac{1}{2}$mg，s_EF=1.5R．
（3）設(shè)物體從CD滑下后與小車達(dá)到相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，共同速度為v₂，相對(duì)小車滑行的距離為s₁，小車停后物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)小車滑行距離為s₂，以向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒有：
mv₁=2mv₂，
根據(jù)能量守恒有：fs₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$×2mv₂²，
對(duì)物體根據(jù)動(dòng)能定理有：fs₂=$\frac{1}{8}$mv₂²，
解得：s₁=0.25R，s₂=0.375R．
答：（1）物體滑上軌道CD前的瞬間的速率為$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）水平面EF的長度為1.5R；
（3）Q點(diǎn)距小車右端0.375R處．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理，綜合性較強(qiáng)，涉及的過程較多，關(guān)鍵是合理地選擇研究對(duì)象和研究過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．