Question

如圖所示，在光滑的水平地面上，質(zhì)量為M=3.0kg的長(zhǎng)木板A的左端，疊放著一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小物塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)），處于靜止?fàn)顟B(tài)，小物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.30．在木板A的左端正上方，用長(zhǎng)為R=0.80m不可伸長(zhǎng)的輕繩將質(zhì)量為m=1.0kg的小球C懸于固定點(diǎn)O．現(xiàn)將小球C拉至上方與水平方向成θ=30⁰角的位置，由靜止釋放，在將繩拉直的瞬間，小球C沿繩方向的分速度立刻減為零，而沿切線方向的分速度不變．此后，小球C與B恰好發(fā)生正碰且無(wú)機(jī)械能損失．空氣阻力不計(jì)，取g=10m/s²． 求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)線的拉力；
（2）木板長(zhǎng)度L至少為多大時(shí)小物塊才不會(huì)滑出木板？

Answer 1

分析：先由動(dòng)能定理求出小球被拉直時(shí)的速度，然后小球沿圓周方向的速度為v₀cosθ，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求出最低點(diǎn)速度，再根據(jù)牛頓第二定律列式求解拉力．
由動(dòng)量守恒求出碰后滑塊的速度，然后由機(jī)械能守恒列方程求出L．

解答：解：（1）靜止釋放后小球做自由落體運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，繩被拉緊后再繞O點(diǎn)向下做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．小球下落的高度為R而將繩拉直，
由機(jī)械能守恒定律得：mgR=

1

2

mv₀²    
小球下落到B點(diǎn)時(shí)沿圓周方向的速度為：v_B=v₀cosθ
小球由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒則：

1

2

mv_B²+mgR（1-sinθ）=

1

2

mv_c²
小球在最低點(diǎn)受力如圖所示，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：F-mg=m

vc2

R

 
聯(lián)立解得：F=3.5mg=35N
由牛頓第三定律得小球?qū)��?xì)繩的拉力為35N，方向豎直向下．
（2）小球與B碰撞過(guò)程中遵守動(dòng)量和機(jī)械能兩個(gè)守恒，則
mv_c=mv₁+mv₂ 

1

2

mv_c²=

1

2

mv₁²+

1

2

mv₂²
解得：v₁=0，v₂=v_C=

5gR 2

，碰撞后小球與B交換速度
B在木板A上滑動(dòng)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)B滑到木板A最右端時(shí)速度為v，則mv_c=（m+M）v
B在木板A上滑動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)減小的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能，由能量守恒定律得　μmgL=

1

2

mv_c²-

1

2

（m+M）v² 　
聯(lián)立解得L=

M

2μg(m+M)

5gR 2

 
代入數(shù)據(jù)解得L=2.5m
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)線的拉力35N；
（2）木板長(zhǎng)度L至少為2.5m時(shí)小物塊才不會(huì)滑出木板．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了機(jī)械能守恒、速度的合成與分解、動(dòng)量守恒以及能量守恒的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．