Question

19．一位電腦動畫愛好者設(shè)計了一個“貓捉老鼠”的動畫游戲，如圖所示，在一個邊長為a的大正方體木箱的一個頂角G上，老鼠從貓的爪間逃出，沿著木箱的棱邊奔向洞口，洞口在方木箱的另一頂角A處．若老鼠在奔跑中，并不重復(fù)地跑過任意一條棱邊，也不再回到G點，聰明的貓選擇了一條最短的路線奔向洞口（設(shè)貓和老鼠同時從G點出發(fā)），結(jié)果貓再次在洞口A捉到了老鼠，問：
（1）老鼠的位移大小及最短路程是多少？
（2）貓的位移大小和路程是多少？

Answer 1

分析 這是一個立體的追及問題，如果用求極值的方法是很繁瑣的，但如果轉(zhuǎn)換一下物理情境把大立方體展開鋪平如圖所示，就會發(fā)現(xiàn)GA連線就是貓追老鼠的最短踐線，這樣問題就變得非常簡單了．

解答 解：（1）經(jīng)過分析可知，老鼠從頂角G點出發(fā)，走過的最短路程x=3a （三條棱），位移大小是$\sqrt{3}$a；
（2）將立體圖形展開，如圖所示，當(dāng)貓按照AG線走時，路程最短，則最短路程$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，此時位移為立體圖形中AG間的直線距離，故位移大小是$\sqrt{3}$a，如圖所示：
答：（1）老鼠的位移大小及最短路程是分別為$\sqrt{3}$a和3a；
（2）貓的位移大小和路程是$\sqrt{3}$a和$\sqrt{5}$a．

點評 科學(xué)合理的數(shù)學(xué)變換將物理情景進(jìn)行轉(zhuǎn)換，是解決物理問題的方式之一；數(shù)學(xué)變換只是一種工具，還需要服務(wù)于物理意義或適用范圍