Question

3．有兩顆人造地球衛(wèi)星，都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知它們的軌道半徑之比為1：2，求這兩顆衛(wèi)星的：
（1）線速度之比；       
（2）角速度之比；         
（3）運(yùn)動(dòng)周期之比．

Answer 1

分析 人造地球衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，則由公式可得出各量的表達(dá)式，則可得出各量間的比值．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\sqrt{\frac{2}{1}}=\frac{\sqrt{2}}{1}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$，得$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，所以$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}=\sqrt{\frac{{2}^{3}}{1}}=\frac{2\sqrt{2}}{1}$
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}=\sqrt{\frac{1}{{2}^{3}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
答：（1）線速度之比為$\sqrt{2}$：1；       
（2）角速度之比為2$\sqrt{2}$：1； 
（3）運(yùn)動(dòng)周期之比為1：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，注意本題中的質(zhì)量為中心天體地球的質(zhì)量，各物理量與人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量無(wú)關(guān)．