Question

在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽觀看后對(duì)此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量m=60kg的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，繩長l=2m，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m．不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩拉力的大小F；
（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，小明認(rèn)為繩越長，在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽卻認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，請(qǐng)通過推算說明你的觀點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）在擺動(dòng)過程中，機(jī)械能是守恒的，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）再用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的向心力求出繩子對(duì)選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對(duì)繩子的拉力．
（3）對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)沿水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行分解，水平方向上是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上時(shí)自由落體運(yùn)動(dòng)，分別列出位移式子，聯(lián)立后進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出當(dāng)l=1.5m時(shí)，水平方向有最大值．

解答：解：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，有：mgl（1-cosα）=

1

2

mv2
代入數(shù)據(jù)解得：v=

2gl(1-cosα)

=

2×10×2×(1-0.6)

m/s=4m/s
所以選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)的速度為4m/s．
（2）選手?jǐn)[到過程中，做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)繩子對(duì)選手的拉力為F′，則在最低點(diǎn)時(shí)有：
F′-mg=m

v2

l

解得：F′=m

v2

l

+mg=60×（

42

2

+10）N=1080N
人對(duì)繩的拉力與繩對(duì)人的拉力是作用力與反作用力的關(guān)系，所以有：F=F′
則F=1080N
（3）選手從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)
水平方向上有：x=vt
豎直方向上有：H-l=

1

2

gt2
以上兩式聯(lián)立解得：x=2

l(H-l)(1-cosα)

當(dāng)l=

H

2

時(shí)，x有最大值，解得：
l=1.5m
因此，兩人的看法均不正確．當(dāng)繩長越接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．
答：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為4m/s；
（2）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩拉力的大小F為1080N；
（3）兩人的看法均不正確．當(dāng)繩長越接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查到了機(jī)械能守恒，圓周運(yùn)動(dòng)向心力，動(dòng)能定理，平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及求極值問題．
解答時(shí)，一定注意要求的是選手對(duì)繩子的拉力．解題過程中是對(duì)選手進(jìn)行受力分析的，故不要忘記應(yīng)用牛頓第三定律．應(yīng)用動(dòng)能定理解答時(shí)，要注意，重力做功貫穿整個(gè)過程，而浮力和阻力做功只是在水中時(shí)．關(guān)于物理當(dāng)中的極值問題，要會(huì)熟練的對(duì)式子進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，從而得出結(jié)論．