Question

有一傾角為θ的斜面，其底端固定一檔板，另有三個(gè)木塊A、B、C，它們的質(zhì)量分別為m_A=m_B=m，m_C=3m，它們與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同．其中木塊A和一輕彈簧連接，放于斜面上，并通過輕彈簧與檔板M相連，如圖所示．開始時(shí)，木塊A靜止在P點(diǎn)彈簧處于原長(zhǎng)，木塊B在Q點(diǎn)以初速度U₀沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，P、Q間的距離為l，已知木塊B在下滑過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，與木塊A碰撞后立刻一起沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)一個(gè)最低點(diǎn)后向上運(yùn)動(dòng)，木塊B向上運(yùn)動(dòng)恰好能回到Q點(diǎn)．現(xiàn)將木塊C從Q點(diǎn)以初速度

3

2

v₀沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，木塊A仍靜止于P點(diǎn)，經(jīng)歷同樣的過程，最后木塊C停在斜面上的R點(diǎn)（圖中未畫出）．求：
（1）A、B一起開始?jí)嚎s彈簧時(shí)速度u₁；
（2）A、B壓縮彈簧的最大長(zhǎng)度；
（3）P、R間的距離l’的大小．

Answer 1

分析：（1）A、B系統(tǒng)在碰撞過程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出A、B一起壓縮彈簧時(shí)的速度．
（2）對(duì)兩木塊從開始?jí)嚎s彈簧到彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理，克服摩擦力做功的路程等于最大長(zhǎng)度的2倍，再對(duì)木塊B從P到Q運(yùn)用動(dòng)能定理，聯(lián)立解出彈簧壓縮的最大長(zhǎng)度．
（3）運(yùn)用動(dòng)量守恒定律求出木塊C與A碰撞后的速度，得出木塊B和A壓縮彈簧時(shí)的初動(dòng)能與木塊C與A壓縮彈簧時(shí)的初動(dòng)能相等，根據(jù)能量守恒知，彈簧最大的壓縮量大小相等，分別對(duì)木塊C與A從壓縮彈簧返回彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理，以及對(duì)木塊C從P點(diǎn)到R點(diǎn)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理，聯(lián)立解出PR間的距離．

解答：解：（1）木塊B下滑做勻速運(yùn)動(dòng)，有：mgsin_θ=μmgcosθ
B和A碰撞后，設(shè)速度為v₁，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：mv₀=2mv₁
解得：v1=

v0

2

（2）設(shè)兩木塊向下壓縮彈簧的最大長(zhǎng)度為x，兩木塊被彈簧彈回到P點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，根據(jù)動(dòng)能定理得：-μ2mgcosθ2x=

1

2

2m

v

2 2

-

1

2

2m

v

2 1

兩木塊在P點(diǎn)處分開后，木塊B上滑到Q點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：-(mgsinθ+μmgcosθ)l=0-

1

2

m

v

2 2

解得：x=

v 2 0

16gsinθ

-l
（3）木塊C與A碰撞后速度為v₁′，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：3m

2

3

v0=4mv1′
解得：v1′=

2

4

v0
設(shè)木塊C與A壓縮的最大長(zhǎng)度為x′，兩木塊被彈簧彈回到P點(diǎn)時(shí)的速度為v₂′，根據(jù)動(dòng)能定理得：-μ4mgcosθ?2x′=

1

2

4mv2′2-

1

2

4mv1′2  
木塊C與A在P點(diǎn)處分開后，木塊C上滑到R的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-（3mgsinθ+μ3mgcosθ）l′=0-

1

2

3mv2′2
在木塊壓縮彈簧的過程中，重力對(duì)木塊所做的功與摩擦力對(duì)木塊所做的功大小相等，因此，木塊B和A壓縮彈簧的初動(dòng)能：
Ek1=

1

2

2mv12=

1

4

mv02
木塊C與A壓縮彈簧的初動(dòng)能為：Ek2=

1

2

4mv1′2=

1

4

mv02
即：E_k1=E_k2
因此，彈簧先后兩次的最大壓縮量相等，即x=x′，綜上可得：l′=l-

v02

32gsinθ

．
答：（1）A、B一起開始?jí)嚎s彈簧時(shí)速度為

v0

2

．
（2）A、B壓縮彈簧的最大長(zhǎng)度x=

v 2 0

16gsinθ

-l．
（3）P、R間的距離l′=l-

v02

32gsinθ

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)過程，合理地選擇研究對(duì)象和研究的過程，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．