Question

6．如圖所示，一光滑圓錐體固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一條不計(jì)質(zhì)量，長為l（l＜OA）的細(xì)繩，一端固定在頂點(diǎn)O，另一端栓一質(zhì)量為m的物體（看做質(zhì)點(diǎn)）．求：
（1）當(dāng)小球繞圓錐體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且對(duì)錐體表面無壓力時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的線速度大小；
（2）當(dāng)物體以速度v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$繞圓錐體的軸OC在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和圓錐面之間的相互作用力多大．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：（1）當(dāng)物體剛好對(duì)錐體表面無壓力時(shí)，對(duì)小球受力分析，合力提供向心力，則有：
Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$，
（2）v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$＜v，則有：${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得：${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$，${N}_{1}=\frac{6-\sqrt{3}}{6}mg$
答：（1）當(dāng)小球繞圓錐體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且對(duì)錐體表面無壓力時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的線速度大小為；
（2）當(dāng)物體以速度v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$繞圓錐體的軸OC在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和圓錐面之間的相互作用力為$\frac{6-\sqrt{3}}{6}mg$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，知道物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解，難道適中．